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चलिए आज हम Class 10th Maths Solutions Chapter 1 Ex 1.2 की समस्त जानकारी पढ़ना शुरू करते हैं।
Chapter 1 : वास्तविक संख्याएँ : एक्साइज – 1.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए?
1. 140
हल:- 140 = 2 × 2 × 5 × 7
= 2² × 5¹ × 7¹
Ans. 2² × 5¹ × 7¹
2. 156
हल:- 156 = 2 × 2 × 3 × 13
= 2² × 3¹ × 13¹
Ans. 2² × 3¹ × 13¹
3. 3825
हल:- 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 3² × 5² × 17¹
Ans. 3² × 5² × 17¹
4. 5005
हल:- 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
= 5¹ × 7¹ × 11¹ × 13¹
Ans. 5¹ × 7¹ × 11¹ × 13¹
5. 7429
हल:- 7429 = 17 × 19 × 23
= 17¹ × 19¹ × 23¹
Ans. 17¹ × 19¹ × 23¹
प्रश्न 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है?
(i). 26 और 91
(ii). 510 और 92
(iii). 336 और 54
(i). 26 और 91
हल:- 26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
HCF (26, 91) × LCM (26, 91)
= 13 × 182 = 2366
26 × 91 = 2366
अत: HCF (26, 91) × LCM (26,91) = 26 × 91 सत्यापित
(ii). 510 और 92
हल:- 510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
HCF = 2
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
अब HCF (510, 92) × LCM (510, 92) = 2 × 23460
= 46920
एवं 510 × 92 = 46920
अत: HCF (510, 92) × LCM (510, 92) = 510 × 92 सत्यापित
(iii). 336 और 54
हल:- 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
HCF = 2 × 3 = 6 उत्तर
LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024 उत्तर
अब HCF (336,54) × LCM (336,54) = 6 × 3024 = 18144
एवं 336 × 54 = 18144
अतः HCF (336,54) × LCM (336,54) = 336 × 54 सत्यापित
प्रश्न 3. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए?
(i). 12, 15 और 21
(ii). 17, 23 और 29
(iii). 8,9 और 25
(i). 12, 15 और 21
हल :- 12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420
अतः अभीष्ट HCF = 3 एवं LCM = 420
(ii). 17, 23 और 29
हल :- 17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
अतः अभीष्ट HCF = 1 एवं LCM = 11339
(iii). 8, 9 और 25
हल :- 8 = 1 × 2 × 2 × 2
9 = 1 × 3 × 3
25 = 1 × 5 × 5
HCF = 1
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 1800
अतः, अभीष्ट HCF = 1 एवं LCM = 1800
प्रश्न 4. HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल :- प्रश्नानुसार,
LCM (306, 657) × HCF (306, 657) = 306 × 657
⇒ LCM (306, 657) = 306 × 6579
∵ HCF (306, 657) = 9 दिया है।
⇒ LCM (306, 657) = 2010429
= 22338
अतः अभीष्ट LCM (306, 657)
= 22338
Ans. 22338
प्रश्न 5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है?
हल :- हम जानते हैं कि,
6n = 2n × 3n का गुणनखण्ड 5 नहीं है,
अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6n संख्या अंक 0 पर समाप्त नहीं होगी क्योंकि 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ 5 से विभाज्य होती हैं और यह संख्या 5 से विभाज्य नहीं है।
अतः, ऐसी कोई संख्या n नहीं है जिसके लिए 6n अंक 0 पर समाप्त होगी।
प्रश्न 6. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल :- 7 × 11 × 13 + 13
= 13 (7 × 11 + 1)
= 13 × 78
जो एक भाज्य संख्या है।
एवं 7 × 6 × 5 × 4 × 3× 2 × 1 + 5 = 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009
जो एक भाज्य संख्या है।
अतः दी हुई दोनों संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।
प्रश्न 7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
हल :- 18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
LCM (18, 12) = 22 × 32
= 2 × 2 × 3 × 3
= 36
अतः वे पुन: 36 मिनट बाद प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।
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