आयतन की परिभाषा

किसी त्रिविमीय आकृति द्वारा घिरा गया स्थान आयतन कहलाता हैं। किसी पदार्थ द्वारा घिरे हुए स्थान की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई में व्यक्त किया जाता हैं। आयतन को हमेशा घन इकाई में मापा जाता हैं।

   By Easymathstricks

S.I. पद्धति में आयतन का मात्रक मीटर³ होता हैं। त्रिविमीय आकृतियों के अंतगर्त घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, शंकु का छिन्नक आदि आते हैं।

घन का आयतन = a × a × a घन का परिमाप = 4 × a × a घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 6 a² वर्ग सेंटीमीटर। घन का विकर्ण = √3a सेंटीमीटर।

घन के सूत्र–

घन क्या हैं

घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई घनाभ का आयतन = l × b × h घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h घनाभ के समस्त पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2(लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई) घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) घनाभ के विकर्ण = √(लम्बाई)² + (चौड़ाई)² + (ऊँचाई)² घनाभ का विकर्ण = √l² + b² + h²

घनाभ के सूत्र–

घनाभ क्या हैं

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = πr²h बेलन का वक्रप्रष्ठ = आधार की परिमाप × ऊँचाई = 2πrh बेलन का सम्पूर्ण प्रष्ठ = वक्रप्रष्ठ का क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr² = 2πr(r + h) खोखले बेलन का आयतन = πh(r₁² – r₂²) खोखले बेलन का वक्रप्रष्ठ = 2πh(r₁² + r₂²) खोखले बेलन का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2πh(r₁ + r₂) + 2π(r₁² – 2r₂²)

बेलन के सूत्र

बेलन क्या हैं

शंकु का आयतन = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = ⅓ π²h शंकु का वक्रतल = ½ × आधार की परिधि × तिर्यक ऊँचाई = πrl शंकु का सम्पूर्ण सतह = वक्रप्रष्ठ + आधार का क्षेत्रफल = πr (l + r) शंकु की तिर्यक ऊँचाई = √(त्रिज्या)² + (ऊँचाई)² L = √r² + h²

शंकु के सूत्र

शंकु क्या हैं

गोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 4πr² वर्ग सेंटीमीटर गोला का आयतन = 4/3 πr³ घन सेंटीमीटर गोलीय शेल का आयतन = ⁴⁄₃ π(R³ – r³) गोलीय शेल के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = ⁴⁄₃ π(R²– r²) घन ने सबसे बड़े गोले का आयतन = ¹⁄₆ a³ प्रत्येक घन में सबसे बड़े गोले की त्रिज्या = a/2 घन में सबसे बड़े गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = πa² गोले में सबसे बड़े घन की एक भुजा = 2R / √3 गोला में सबसे बड़े घन का आयतन = 8√3/a × R³ गोला में सबसे बड़े घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 8 r²

गोला के सूत्र

गोला क्या हैं

आयतन के सूत्र

Q.1 एक घन का प्रत्येक किनारा 5 मीटर हैं, तो उसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल और आयत होगा? A. 150 वर्ग मीटर, 125 घन मीटर B. 25 वर्ग मीटर, 75 घन मीटर C. 190 वर्ग मीटर, 175 घन मीटर D. 40 वर्ग मीटर, 160 घन मीटर

हल:- प्रश्ननानुसार, घन का कुल प्रष्ठ क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)² = 6 × 25 = 150 वर्ग मीटर घन का आयतन = (भुजा)² = (5)² = 25 Ans. 25 घन मीटर

Q.2 एक घनाभ की लम्बाई 15 मीटर, चौड़ाई 10 मीटर तथा ऊँचाई 4 मीटर हैं। इसका सम्पूर्ण प्रष्ठ हैं? A. 420 वर्ग मी. B. 450 वर्ग मी. C. 500 वर्ग मी. D. 600 वर्ग मी.

हल:- प्रश्ननानुसार, घनाभ का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2(15 × 10 + 10 × 4 + 4 × 15) = 500 वर्ग मीटर उत्तर:- 500 वर्ग मीटर

Q.3 यदि गोले के प्रष्ठ क्षेत्रफल 4 : 25 के अनुपात में हो, तो उनके आयतनों का अनुपात होगा? A. 4 : 25 B. 25 : 4 C. 125 : 4 D. 8 : 125

हल:- प्रश्नानुसार, यदि गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ तथा r₂ हो तो 4πr₁² : 4πr₂² 4 : 25 r₁ : r₂ 2 : 5 4/3 πr₁³ : 4/3 πr₂³ 8 : 125 Ans. 8 : 125

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