Class 10th Maths Solutions Chapter 1 Ex 1.4

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Chapter 1 : वास्तविक संख्याएँ : एक्साइज – 1.4

प्रश्न 1. बिना लम्बी विभाजन क्रिया कर बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैं?

(i). 13/3125

13/3125 = 1355
3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁵
चूँकि हर में केवल 5 की धात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।

(ii). 17/8

17/8 = 1723
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
चूँकि हर में केवल 2 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।

(iii). 64/455

64/455 = 6451×71×131
चूँकि हर में 5 के अतिरिक्त 7 एवं 13 की धात हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(iv). 15/1600

15/1600 = 1526×52 = 326×51
चूँकि हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।

(v). 29/343

29/343 = 2973
चूँकि हर में 7 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(vi). 23/2³5²

2323×52 के हर में चूँकि केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।

(vii). 129/2²5⁷7⁵

12922×57×75
के हर में चूँकि 2 एवं 5 के अतिरिक्त 7 की घातें भी हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

(viii). 6/15

चूँकि 6/15 = 25 के हर में केवल 5 की घात है
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ix). 35/50

चूँकि 35/50 = 710 = 72×5 के हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।

(x). 77/210

77/210 = 1130 = 112×3×5
चूँकि इसके हर में 2 और 5 के अतिरिक्त 3 की भी घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।

हल:- ऊपर दिए गए प्रश्न में निम्न परिमेय संख्याओं के प्रसार सांत हैं।

(i). 13/3125

13/3125
13 × 2²/5⁵ × 2⁵
416/10⁵
0.00416
Ans. 0.00416

(ii). 17/8

17/2³
17×5³/2³×5³
2125/10³
2.125
Ans. 2.125

(iii). 15/1600

15/1600
3×5/2⁶×5²
3×5⁵/2⁶×5×5⁵
9375/10⁶
0.009375
Ans. 0.009375

(iv). 23/2³5²

23/2³×5²
23×5/2³×5³
115/10³
0.115
Ans. 0.115

(v). 6/15

6/15
2×3/5×3
2×2/2×5
4/10
0.4

(vi). 35/50

35/50
7×5/2×5²
7/10
0.7
Ans. 0.7

प्रश्न 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

(i). 43.123456789

हल:- 43.123456789 = 43123456789109 43123456789 में दशमलव प्रसार सांत है। अत: यह परिमेय संख्या है, जो 𝑝𝑞 के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 ही हैं।

(ii). 0.120120012000120000…..

हल:- 0.120120012000120000 …………. का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(iii). 43⋅123456789⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

हल:- 43⋅123456789⎯⎯⎯ में दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है जो 𝑝𝑞 के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 5 के अतिरिक्त एक अन्य गुणखण्ड है।

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