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Class 10th Maths Solutions Chapter 2 Additional Questions

इस पेज पर आप Class 10th Maths Solutions Chapter 2 Additional Questions की समस्त जानकारी पढ़ने वाले हैं तो पोस्ट को पूरा जरूर पढ़िए चलिए पढ़ना शुरू करते हैं।

Chapter 2 : बहुपद : Additional Questions

प्रश्न 1. निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए?

(i). – 8/3, 4/3

हल:- शून्यकों का योग –8/3 एवं गुणनफल 4/3 है।
∵ द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (- 8/3) x + 4/3
= 1/3 (3x² + 8x + 4)
अब 1/3 (3x² + 8x + 4)
= 1/3 (3x² + 6x + 2x + 4)
= 1/3 [3x (x + 2) + 2 (x + 2)]
= 1/3 (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – 2/3
अतः अभीष्ट द्विधात बहुपद 1/3 (3x² + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – 2/3 हैं।

(ii). 21/8, 5/16

हल:- यहाँ शून्यकों का योग 21/8 एवं गुणनफल 5/16 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
= ¹⁄₁₆ (16x² – 42x + 5)
= ¹⁄₁₆ (16x² – 40x – 2x + 5)
= ¹⁄₁₆ [8x (2x – 5) – 1 (2x – 5)
= ¹⁄₁₆ (2x – 5)(8x – 1)
शुन्यक क्रमशः 5/2 एवं 1/8
अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद ¹⁄₁₆ (16x² – 42x + 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः 5/2 एवं 1/8 हैं।

(iii). -2√3, -9

हल:- शून्यकों का योग -2√3 एवं गुणन -9 है।
द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (-2√3) x + (-9)
= x² + 2√3 x – 9
अब x² + 2√3x – 9
= x² + 3√3x – √3x – 9
= x (x + 3√3) – √3(x + 3√3)
= (x + 3√3) (x – √3)
⇒ शून्यक क्रमशः-3√3 एवं √3
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x² + 2√3x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3√3 एवं √3 हैं।

(iv). −3/2√5, −1/2

हल:- शून्यकों का योग −3/2√5 एवं गुणन –1/2 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
= x² – (-3/2√5)x + (⁻½)
= ½√5 (2√5x² + 3x – √5)
½√5 (2√5x² + 5x – 2x – √5)
= ½√5 [√5x (2x + √5) – 1(2x + √5)]
= ½√5 (2x + √5)(√5x – 1)
शुन्यक क्रमशः -√5/2 एवं 1/√5
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद 1/2√5√(2√5𝑥² + 3𝑥 − √5) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
−5√2 एवं 1/√5 हैं।

प्रश्न 2. √2 घन (त्रिघात) बहुपद 6x³ + √2x² – 10x – 4√2 का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए?

हल:- √2 दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – √2) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

⇒ 6x³ + √2x² – 10x – 4√2
= (x – √2) (6x² + 7√2x + 4)
अब 6x² + 7√2x + 4
= 6x² + 4√2x + 3√2x + 4
= 2x(3x + 2√2) + √2(3x + 2√2)
= (3x + 2√2) (2x + √2)
⇒ अन्य शून्यक −2/2√3 एवं 2√2 अर्थात् 1/√2
अतः दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः −2/2√3 एवं −2√2 अर्थात् −1/√2 हैं।

प्रश्न 3. (x – √5) एक त्रिघात बहुपद x³ – 3√5x² + 13x – 3√5 का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:- चूँकि (x – √ 5) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है

अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः √5, (√5 + √2) एवं (√5 – √2) हैं।

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा?
(a) 4⁄3
(b) ⁻4⁄3
(c) 2⁄3
(d) ⁻⅔

उत्तर:- 4⁄3

प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा?
(a) x² – x + 12
(b) x² + x + 12
(c) 𝑥²/2 − 𝑥/2 − 6
(d) 2x² + 2x – 24

उत्तर:- 𝑥²/2 − 𝑥/2 − 6

प्रश्न 3. यदि किसी द्विघात बहुपद x² + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6

उत्तर:- a = 0, b = – 6

प्रश्न 4. -2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक

उत्तर:- 3 से अधिक

प्रश्न 5. एक त्रिघात (घन) बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा?
(a) –𝑐/𝑎
(b) 𝑐/𝑎
(c) 0
(d) – 𝑏/𝑎

उत्तर:- 𝑐/𝑎

प्रश्न 6. यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा?
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1

उत्तर:- b – a + 1

प्रश्न 7. एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।

उत्तर:- दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8. यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।

उत्तर:- c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा?
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c

उत्तर:- c/a

प्रश्न 10. बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे?
(a) ± √3
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9

उत्तर:- (a) ± √3

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए?

1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
2. दो बहुपद का योग …………………… होता हैं।
3. ax² + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण हैं।
4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो …………………… कहलाता हैं।
5. रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:-

1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे 1 एवं 2

2. दो बहुपद का योग एक बहुपद होता हैं।

3. ax² + bx + c एक द्विघात बहुपद का उदाहरण हैं।

4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो शून्यक कहलाता हैं।

5. रैखिक बहुपद के अधिकतम एक शून्यक हो सकते हैं।

सही जोड़ी मिलाइए?

सत्य/असत्य कथन बताइए?

प्रश्न 1. एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.

उत्तर:- सत्य

प्रश्न 2. √𝑥 + 2 एक बहुपद है।

उत्तर:- असत्य

प्रश्न 3. बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।

उत्तर:- सत्य

प्रश्न 4. द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।

उत्तर:- असत्य

प्रश्न 5. एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.

उत्तर:- सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए?

प्रश्न 1. रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?

उत्तर:- एक

प्रश्न 2. p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?

उत्तर:- विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3. यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?

उत्तर:- – 𝑏/𝑎

प्रश्न 4. यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?

उत्तर:- 𝑐/𝑎

प्रश्न 5. त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर:- तीन।

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