परिमेय संख्या की परिभाषा और उदाहरण

इस पेज पर आप परिमेय संख्या की जानकारी पड़ेगें तो इस पोस्ट को पूरा जरूर पढ़िए।

पिछले पेज पर मैंने भाज्य संख्या और अभाज्य संख्या की जानकारी शेयर की हैं उन आर्टिकल को भी पढ़े।

चलिए आज हम परिमेय संख्याओं की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

परिमेय संख्या किसे कहते हैं

ऐसी सभी संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता हैं। उन्हें परिमेय संख्याएँ कहते है। जहाँ, p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।

Note : q हर का मान जीरो नहीं होना चाहिए।

जैसे:- 1/2, 3/2, -4/5, 5/-7, √25, √225

परिमेय संख्या को अंग्रेजी में Rational Number कहा जाता है।

अंश तथा हर

एक परिमेय संख्याएँ जो कि p/q के रूप में होता है, p/q में p को अंश तथा q को हर कहते हैं।

→ परिमेय संख्या 1/2 में 1 अंश तथा 2 हर है।
→ परिमेय संख्या 3/2 में 3 अंश तथा 2 हर है।
→ उसी प्रकार परिमेय संख्या –4/5 में –4 अंश तथा 5 हर है।
→ उसी प्रकार 5/–7 में 5 अंश तथा –7 हर है।
→ √25 जो कि एक परिमेय संख्या है, इसमें √25 अंश तथा 1 हर है।

अधिक जानकारी के लिए अंश और हर की पोस्ट पढ़िए।

Note :-

यदि दशमलव भिन्न वाली संख्याओं में दशमलव के बाद वाली संख्याओं की गिनती हो रही हो या दशमलव के बाद वाली संख्याओं की पुनरावर्ती हो रही हो। तो ऐसी संख्याएँ परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।

जैसे:- 1, 2, 3, 1/2, 2/5

धनात्मक परिमेय और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं में अंतर

परिमेय संख्या p/q के रूप में होती है, जहाँ p/q दोनों पूर्णांक होते है। (q या हर) हमेशा शून्य के बराबर नहीं होता है। वहाँ परिमेय संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक हो सकती हैं।

संख्याएँ धनात्मक परिमेय होगी यदि और केवल यदि (+p/+q) हो ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ होगीं यदि और केवल यदि -(p/q) हो।

धनात्मक परिमेय संख्याएँ	ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ
परिमेय संख्या जिनमें अंश तथा हर दोनों धनात्मक हों, धनात्मक परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।	परिमेय संख्या जिनमें अंश या हर कोई एक ऋणात्मक हो ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ कहते हैं।
अंश और हर दोनों में बराबर चिन्ह हो। अर्थात (p/q) या (+p/+q) हो वह धनात्मक परिमेय संख्याएँ होगी।	यदि अंश और हर दोनों एक दूसरे के विपरीत चिन्ह के हो, अर्थात -(p/q) = (-p)/q = p/(-q), हो तो वह ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।
धनात्मक परिमेय संख्याएँ शून्य से बड़ी होती हैं।	ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ शून्य से छोटी होती हैं।
धनात्मक परिमेय संख्याएँ के उदाहरण :- 2/3, 4/5, 5/6, 6/7, 2.1	धनात्मक परिमेय संख्याएँ के उदाहरण :- 2/-3, 5/-7, -6/7, – 2.1

समतुल्य परिमेय संख्याएँ

ऐसी परिमेय संख्याएँ जो परस्पर एक-दूसरे के बराबर हों उन संख्याओं को एक दूसरे के समतुल्य परिमेय संख्याएँ कहाँ जाता है।

दी हुई परिमेय संख्याएँ के समतुल्य परिमेय संख्याएँ निकालना

एक परिमेय संख्या के अंश और हर को एक ही शून्येतर पूर्णांक से गुणा करने पर दी हुई परिमेय संख्या के समतुल्य या तुल्य एक अन्य परिमेय संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण :-

3/4 के अंश और हर में 2 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या 3/4 के समतुल्य परिमेय संख्याएँ होगी।

3/4 = (3 × 2)/(4 × 2)
3/4 = 6/8
अतः 3/4 समतुल्य 6/8 परिमेय संख्याएँ हैं।

उसी प्रकार 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3)
3/4 = 9/12
अतः 3/4 समतुल्य 9/12 परिमेय संख्याएँ हैं।

उसी प्रकार 3/4 = (3 × 4)/(4 × 4)
3/4 = 12/16
अतः 3/4 समतुल्य 12/16 परिमेय संख्याएँ हैं।

अतः 3/4, 6/8, 9/12 और 12/16 समतुल्य परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि ये आपस में परस्पर बराबर हैं।

परिमेय संख्याओं से संबंधित प्रश्न और उत्तर

प्रश्न1. शून्य (0) धनात्मक परिमेय संख्या है या ऋणात्मक परिमेय संख्या है?

उत्तर:- शून्य (0) न तो धनात्मक परिमेय संख्या है न ही ऋणात्मक परिमेय संख्या।

प्रश्न2. 1/2 तथा 1/3 की तुलना कीजिए?

हल:- प्रश्नानानुसार,
1/2 तथा 1/3
इन दोनों परिमेय संख्याओं के हर 2 तथा 3 का लघुत्तम समापवर्तक होता है 3 × 2 = 6
अत: 1/2 = (1 × 3)/(2 × 3) = 3/6
तथा, 1/3 = (1 × 2)/(3 × 2) = 2/6
अब चूँकि 3/6 तथा 2/6 के अंश में 6 बड़ा है अत:
3/6 > 2/6
या, 1/2 > 1/3
अर्थात 1/2 बड़ा है 1/3 से।
उत्तर:- 1/2 > 1/3

प्रश्न3. -2/3 तथा 3/4 की तुलना कीजिए?

हल:- प्रश्नानानुसार,
ऋणात्मक संख्या धनात्मक संख्या से छोटी होती है।
दी गई परिमेय संख्याओं में -2/3 तथा 3/4 में -2/3 ऋणात्मक परिमेय संख्या हैं।
अतः -2/3 छोटा हैं 3/4 से
या -2/3 < 3/4
उत्तर:- -2/3 < 3/4

प्रश्न.4 परिमेय संख्याएँ 3/5 तथा 6/7 की तुलना कीजिए?

हल:- प्रश्नानानुसार,
दी गयी परिमेय संख्याएँ 3/5 तथा 6/7
बज्र गुणन करने पर
बज्र गुणन
3 × 7 तथा 6 × 5
21 तथा 30
21 < 30
अत: 3/5 < 6/7
अर्थात, 3/5 छोटा है 6/7 से
उत्तर:- 3/5 < 6/7

प्रश्न.5 परिमेय संख्याओं 3 तथा 5 के बीच 3 परिमेय संख्याएँ निकालें?

हल:- प्रश्नानानुसार,
दी गई परिमेय संख्याएँ हैं, 3 तथा 5

चरण 1. इन दी गई संख्याओं को p/q के रूप में लिखें
3 = 3/1 तथा 5 = 5/1

चरण 2. दी गई संख्याओं के बीच जितनी परिमेय संख्याएँ निकालना है उसमें 1 जोड़ें।
चूँकि दी गई परिमेय संख्याओं के बीच 3 परिमेय संख्याएँ निकालना है, अत: 3+1 = 4

चरण 3. दी गई परिमेय संख्याओं के अंश तथा हर को 4 से गुणा करें।
3/1 = (3 × 4)/(1 × 4) = 12/4
तथा 5/1 = (5 × 4)/(1 × 4) = 20/4

चरण 4. अब प्राप्त परिमेय संख्याओं के बीच की तीन परिमेय संख्याएँ को निकालें।
स्पष्टत: 12/4 तथा 20/4 के बीच परिमेय संख्याएँ हैं।
12/4 तथा 20/4

उत्तर:- 13/4, 14/4, 15/4, 16/4, 17/4, 18/4 तथा 19/4

FAQ

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