इस पेज पर आप वर्गमूल की परिभाषा, सूत्र और महत्वपूर्ण उदाहरण को हल सहित पड़ेगें।
पिछले पेज पर हमने गणित के महत्वपूर्ण अध्याय घनमूल को शेयर किया हैं उसे जरूर पढ़े।
चलिए वर्गमूल की परिभाषा, सूत्र और उदाहरण की समस्त जानकारी को पढ़ना शुरू करते है।
Table of Contents
वर्गमूल की परिभाषा
किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती हैं जिसे परस्पर दो बार गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती हैं।
वर्गमूल को (√) चिन्ह से दर्शाते हैं।
जैसे :-
- 25 का वर्गमूल ⇒ √25 = 5
- 49 का वर्गमूल ⇒ √49 = 7
- 81 का वर्गमूल ⇒ √81 = 9
- 256 का वर्गमूल ⇒ √256 = 16
- 625 का वर्गमूल ⇒ √625 = 25
वर्गमूल निकालने का सूत्र
किसी संख्या P का वर्गमूल वह संख्या (q) होती हैं जिसका वर्ग करने पर p प्राप्त होता हैं।
अर्थात यदि q² = p हो तो q को p का वर्गमूल कहते हैं।
माना, m एक धनात्मक पूर्णांक हैं।
जैसे :-
= √(m × m)
= √m²
= m
Note:- एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक जटिल संख्या होती हैं।
जैसे :- √-n = i√n
जहाँ (i) काल्पनिक संख्या हैं।
वर्गमूल निकालने का तरीका
वर्गमूल दो विधियों से निकाला जाता हैं।
(A). गुणनखण्ड विधि
सबसे पहले संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड निकालते हैं। उसके बाद जो गुणनखण्ड निकलते हैं उनके जोड़े बनाते हैं।
गुणनखण्ड के एक-एक जोड़े को लेकर गुणनफल ज्ञात करते हैं। जो गुणनफल आता हैं वहीं दी गई संख्या का वर्गमूल होता हैं।
उदाहरण : 36000 का वर्गमूल क्या हैं?
हल:- √3600 = 2 × 2 × 2× 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
√3600 = 2² × 2² × 3² × 5²
√3600 = 2 × 2 × 3 × 5
√3600 = 4 × 15
√3600 = 60
Ans. 60
(B). भाग विधि
संख्या को इकाई अंक की ओर से दो-दो अंको के जोड़े बनाते है और बायीं ओर के जोड़े या अंक में ऐसी संख्या से भाग देते है जिसका वर्ग उस जोड़े के बराबर हो या उससे कम हो। “याद रहे भाग ज्यादा नहीं होना चाहिए।”
नीचे दिए उदाहरण को ध्यान से देखिए और समझिए आपको भाग विधि से वर्गमूल निकालना समझ आ जाएगा और आप आसानी से भाग विधि से वर्गमूल निकाल पाएंगे।
जैसे:- 9,025 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए?
हल:- √9,025 = 95
नोट:- यदि किसी संख्या में इकाई के स्थान पर 2, 3, 7 या 8 हो तो उस संख्या का वर्गमूल पूरा-पूरा नहीं निकलेगा।
वर्ग एवं वर्गमूल के सूत्र
- √ab = √a × √b
- (ab)½ ⇒ √a . b½ = a½ b½
- √a/b = √a / √b
- √(a/b) = (a)½ / (b)½
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
- (ab)½ = √ab
वर्गमूल निकालने के लिए महत्वपूर्ण बिन्दु
- दाई ओर से दो अंको का जोड़ा बनाये और शेष बचे सभी अंको का एक जोड़ा बनाये।
- संख्या में दिया इकाई किसी संख्या का वर्गमूल करने पर प्राप्त होगी यह पता लगाएं और उसे उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
- शेष अंको के जोड़े से बनी हुई संख्या के सबसे नजदीक आने वाली ऐसी संख्या जिस संख्या का वर्ग हो उसे उत्तर में बाई ओर लिखे।
- यदि ऐसी स्थिति में दो संख्या प्राप्त हो तो उनके बीच इकाई अंक 5 वाली संख्या का वर्ग करके दी गई संख्या से तुलना करें, तुलना करने पर दी गई संख्या छोटी संख्या हैं, तो उत्तर छोटा होगा और दी गई संख्या तुलना करने पर बड़ी संख्या प्राप्त हो तो उत्तर बड़ा होगा।
1 से 10 तक की संख्याओं का वर्ग
| 1 का वर्ग | 1 |
| 2 का वर्ग | 4 |
| 3 का वर्ग | 9 |
| 4 का वर्ग | 16 |
| 5 का वर्ग | 25 |
| 6 का वर्ग | 36 |
| 7 का वर्ग | 49 |
| 8 का वर्ग | 64 |
| 9 का वर्ग | 81 |
| 10 का वर्ग | 100 |
1 से 100 तक के वर्गमूल
| √1 | 1 |
| √4 | 2 |
| √9 | 3 |
| √16 | 4 |
| √25 | 5 |
| √36 | 6 |
| √49 | 7 |
| √64 | 8 |
| √81 | 9 |
| √100 | 10 |
| √121 | 11 |
| √144 | 12 |
| √169 | 13 |
| √196 | 14 |
| √225 | 15 |
| √256 | 16 |
| √289 | 17 |
| √324 | 18 |
| √361 | 19 |
| √400 | 20 |
| √441 | 21 |
| √484 | 22 |
| √529 | 23 |
| √576 | 24 |
| √625 | 25 |
| √676 | 26 |
| √729 | 27 |
| √784 | 28 |
| √841 | 29 |
| √900 | 30 |
| √961 | 31 |
| √1024 | 32 |
| √1089 | 33 |
| √1156 | 34 |
| √1225 | 35 |
| √1296 | 36 |
| √1369 | 37 |
| √1444 | 38 |
| √1521 | 39 |
| √1600 | 40 |
| √1681 | 41 |
| √1764 | 42 |
| √1849 | 43 |
| √1936 | 44 |
| √2025 | 45 |
| √2116 | 46 |
| √2209 | 47 |
| √2304 | 48 |
| √2401 | 49 |
| √2500 | 50 |
| √2601 | 51 |
| √2704 | 52 |
| √2809 | 53 |
| √2916 | 54 |
| √3025 | 55 |
| √3136 | 56 |
| √3249 | 57 |
| √3364 | 58 |
| √3481 | 59 |
| √3600 | 60 |
| √3,721 | 61 |
| √3,844 | 62 |
| √3,969 | 63 |
| √4,096 | 64 |
| √4,225 | 65 |
| √4,356 | 66 |
| √4,489 | 67 |
| √4,624 | 68 |
| √4,761 | 69 |
| √4,900 | 70 |
| √5,041 | 71 |
| √5,184 | 72 |
| √5,329 | 73 |
| √5,476 | 74 |
| √5,625 | 75 |
| √5,776 | 76 |
| √5,929 | 77 |
| √6,084 | 78 |
| √6,241 | 79 |
| √6,400 | 80 |
| √6,561 | 81 |
| √6,724 | 82 |
| √6,889 | 83 |
| √7,056 | 84 |
| √7,225 | 85 |
| √7,396 | 86 |
| √7,569 | 87 |
| √7,744 | 88 |
| √7,921 | 89 |
| √8,100 | 90 |
| √8,281 | 91 |
| √8,464 | 92 |
| √8,649 | 93 |
| √8,836 | 94 |
| √9,025 | 95 |
| √9,216 | 96 |
| √9,409 | 97 |
| √9,604 | 98 |
| √9,801 | 99 |
| √10,000 | 100 |
1 से 15 तक की संख्याओं का वर्गमूल
| √1 | 1 |
| √2 | 1.41421… |
| √3 | 1.73205… |
| √4 | 2 |
| √5 | 2.23606… |
| √6 | 2.449… |
| √7 | 2.646… |
| √8 | 2.828… |
| √9 | 3 |
| √10 | 3.162… |
| √11 | 3.317… |
| √12 | 3.464… |
| √13 | 3.606… |
| √14 | 3.714… |
| √15 | 3.873… |
दशमलव में संख्याओं का वर्गमूल
| √.1 | 0.32 |
| √.2 | 0.45 |
| √.3 | 0.55 |
| √.4 | 0.63 |
| √.5 | 0.71 |
| √.6 | 0.77 |
| √.7 | 0.84 |
| √.8 | 0.89 |
| √.9 | 0.95 |
| √.10 | 0.32 |
वर्गमूल पर आधारित प्रश्न
Q.1 √625/25 = ?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 9
हल:- प्रश्ननानुसार,
√625/25 = ?
25/5 = ?
? = 5
Ans. 5
Q.2 √7,744/16 = ?
A. 11
B. 13
C. 17
D. 19
हल:- प्रश्ननानुसार,
√7,744/16 = ?
88/4 = ?
22 = ?
Ans. 11
Q.3 √196/7 × √900/? = 4
A. 15
B. 150
C. 1575
D. 5705
हल:- प्रश्ननानुसार,
√196/7 × √900/? = 4
14/7 × 30/? = 4
2 × 30/? = 4
? = (30 × 2)/4
? = 15
Ans. 15
Q.4 (√24 + √216)/√96
A. 2√6
B. 6√2
C. 2/56
D. 2
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√24 + √216)/√96
√24(1 + √9)/√24 × √4
(1 + 3)/2
4/2
Ans. 2
Q.5 (√5 + √3)/(√5 – √3) का मान होगा?
A. (8 + 2√15)/2
B. (8 – 2√15)/2
C. 1/2
D. 1
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√5 + √3)/(√5 – √3)
अंश एवं हर में (√5 + √3) से गुणा करने पर
(√5 + √3) × (√5 + √3)/(√5 -√3)(√5 + √3)
√5 × (√5 + √3) + √3 × (√5 + √3)/√5 × (√5 + √3) – √3 × (√5 + √3)
(√5 × √5 + √5 × √3 + √3 × √5 + √3 × √3)/(√5 × √5 + √5 × √3 – √3 × √5 – √3 × √3)
(5 + √15 + √15 + 3)/(5 + √15 – √15 – 3)
Ans. (8 + 2√15)/2
Q.6 (√8 – √5)/(√8 + √5) का मान होगा?
A. (13 + 2√40)/3
B. (13 – 2√40)/3
C. (2√40 + 13)/3
D. (2√40 – 13)/3
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√8 – √5)/(√8 + √5)
अंश एवं हर में (√8 – √5) से गुणा करने पर
(√8 – √5) × (√8 – √5)/(√8 + √5)(√8 – √5)
√8 × (√8 – √5) – √5 × (√8 – √5)/(√8)² – (√5)²
(√8 × √8 – √8 × √5 – √5 × √8 + √5 × √5)/8 – 5
(√8)² – √40 – √40 + (√5)²/3
(8 – 2√40 + 5)/3
Ans. (13 – 2√40)/3
Q.7 (√10 × √15) का मान ज्ञात कीजिए?
A. 5√6
B. √30
C. 3√15
D. √25
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√10 × √15)
√150
Ans. 5√6
Q.8 112/√196 × √576/12 × √256/8 का मान होगा?
A. 8
B. 12
C. 16
D. 32
हल:- प्रश्ननानुसार,
(112/√196) × (√576/12) × (√256/8)
(112/14) × (24/12) × (16/8)
8 × 2 × 2
Ans. 32
Q.9 √(3.6 – 0.36) = ?
A. 1.8
B. 3.24
C. 10.5
D. 20.8
हल:- प्रश्ननानुसार,
√(3.6 – 0.36) = ?
√3.24 = ?
1.8 = ?
Ans. 1.8
Q.10 (√65025)² = (?)²
A. 255
B. 325
C. 510
D. 710
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√65025)² = (?)²
(?)² = 65025
? = √65025
? = 255
Ans. 255
Q.11 यदि 2*3 = √13 तथा 3*4 = 5 हो, तो 5*12 का मान होगा?
A. √17
B. √29
C. 12
D. 13
हल:- प्रश्ननानुसार,
2*3 = √13
3*4 = 12
5*12 = √(5² + 12²)
= √(25+ 144)
√169
Ans. 13
Q.12 √? + 7 = √576
A. 169
B. 196
C. 225
D. 289
हल:- प्रश्ननानुसार,
√? + 7 = √576
√? = √576 – 7
√? = 24 – 7
√? = 17
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√?)² = (17)²
? = 289
Ans. 289
Q.13 √?/196 = 72/56 होगा
A. 14
B. 18
C. 212
D. 324
हल:- प्रश्ननानुसार,
√?/196 = 72/56
√?/14 = 72/56
√? = (72 × 14)/56
√? = 18
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(?)² = (18)²
? = 324
Ans. 324
Q.14 (√32 + √48)/(√8 + √12)
A. √2
B. 2
C. 4
D. 8
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√32 + √48)/(√8 + √12)
(4√2 + 4√3)/2√2 + 2√3
4(√2 + √3)/2(√2 + √3)
4/2
Ans. 2
Q.15 √5 + 2√6 – 1/√5 + 2√6 का मान होगा?
A. 2√2
B. 2√3
C. 1 + √5
D. √5 – 1
हल:- प्रश्ननानुसार,
√5 + 2√6 – 1/√5 + 2√6
(√5 + 2√6 – 1)/√5 + 2√6
(4 + 2√6)/(√5 + 2√6)
माना, x = (4 + 2√6)/(√5 + 2√6)
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x² = (16 + 24 + 16√6)/(5 + 2√6)
x² = 8(5 + 2√6)/(5 + 2√6)
x² = 8
x = 2√2
Ans. 2√2
Q.14 √(0.02 + √.0049) बराबर हैं?
A. 0.03
B. √.72
C. 0.3
D. √0.27
हल:- प्रश्ननानुसार,
√(0.02 + √.0049)
√(0.02 + 0.07)
√0.09
Ans. 0.3
Q.15 √(15612 + √154 + √225) का मान होगा?
A. 13
B. 15
C. 25
D. 125
हल:- प्रश्ननानुसार,
√(15612 + √154 + √225)
√(15612 + √154 + 15)
√(15612 + √169)
√(15612 + 13)
√15625
Ans. 125
Q.16 √4/3 – √3/4 का मान होगा?
A. 1/2√3
B. -1/2√3
C. 1
D. 5√3/6
हल:- प्रश्ननानुसार,
√4/3 – √3/4
2/√3 – √3/2
(4 – 3)/2√3
Ans. 1/2√3
Q.17 √32.4/x = 0.18, तो x का मान होगा?
A. 10
B. 100
C. 200
D. 1000
हल:- प्रश्ननानुसार,
√32.4/x = 0.18
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√32.4/x)² = (0.18)²
32.4/x = 0.0324
x × 0.0324 = 32.4
x = (324 × 1000)/324
x = 1000
Ans. 1000
Q.18 वह छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या जो 15, 24 तथा 25 से विभक्त हैं होगी?
A. 900
B. 2025
C. 3600
D. 9000
हल:- प्रश्ननानुसार,
15,24 तथा 25 का ल.स. = 600
अतः अभीष्ट वर्ग संख्या = 600 × 6
Ans. 3600
Q.19 वह छोटी से छोटी संख्या जो पूर्ण वर्ग हो तथा 3, 4, 5, 6, 8 प्रत्येक से पूर्णतया विभक्त हो क्या होगी?
A. 900
B. 1200
C. 2500
D. 3600
हल:- 3, 4, 5, 6, 8 का ल. स. = 120
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
अर्थात पूर्ण वर्ग होने के लिए उसे 2 × 3 × 5 से गुणा करना होगा।
अतः अभीष्ट संख्या = 120 × 30
= 3600
Ans. 3600
Q.20 60 का सबसे छोटा गुणज जो कि पूर्ण वर्ग हो, होगा?
A. 360
B. 600
C. 900
D. 3600
हल:- प्रश्ननानुसार,
60 = 2 × 2 × 3 × 5
अर्थात पूर्ण वर्ग होने के लिए उसे 3 × 5 से गुणा करना होगा।
अतः अभीष्ट संख्या = 60 × 3 × 5
Ans. 900
Q.21 (/21) × (/189) में प्रत्येक * के स्थान पर कौन सी संख्या आएगी?
A. 3969
B. 147
C. 39
D. 63
हल:- माना * के स्थान पर x हैं, तो x²/(21 × 189) = 1
x = √189 × 21
x = √7 × 3 × 7 × 27
x = 7 × 9
x = 63
Ans. 63
Q.22 दो संख्याओं का योग 100 व अंतर 37 हैं उनके वर्गों में अंतर होगा?
A. 37
B. 100
C. 3700
D. 1037
हल:- माना कि एक संख्या = a
तथा दूसरी संख्या = b
प्रश्ननानुसार,
a + b = 100
a – b = 37
a² – b² = (a + b)(a – b)
a² – b² = 100 × 37
a² – b² = 3700
Ans. 3700
Q.23 यदि 23 = √13 तथा 34 = 5 हो, तो 5*12 का मान होगा?
A. 12
B. 13
C. √17
D. √29
हल:- 5*12
= √(5² + 12²)
= √25 + 144
= √169
= 13
Ans. 13
Q.24 व्यंजक 11.98 × 11.98 + 11.98 × x + 0.02 × 0.02 पूर्ण वर्ग होगा यदि x बराबर ? हो, तो ? का मान होगा?
A. 0.02
B. 0.2
C. 0.04
D. 0.4
हल:- माना,
a = 11.98 और b = 0.02
व्यंजक = a² + a × x + b²
व्यंजक को पूर्ण होने के लिए,
x = 2b
x = 2 × 0.02
x = 0.04
Ans. 0.04
Q.25 √12+√12+√2+ ……..= ∞
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
हल:- प्रश्ननानुसार,
√12+√12+√2+ ……..= ∞
माना,
x = √12+√12+√2+ ……..= ∞
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = (√12+√12+√2+ ……..= ∞)²
x² = 12 + x
x² – x – 12 = 0
x² – 4x + 3x – 12 = 0
x(x – 4) + 3(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 3) = 0
x – 4 = 0, x + 3 = 0
x = 4, x = -3
x = 4
Ans. 4
Q.26 √3√3√3√3 = ?
A. 3
B. 9
C. 12
D. 18
हल:- प्रश्ननानुसार,
√3√3√3√3 = ?
माना,
x = √3√3√3√3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = (√3√3√3√3)²
x² = 3x
x = 3
Ans. 3
Q.27 √2 तथा √3 के मध्य एक परिमेय संख्या हैं?
A. 1.5
B. 2.5
C. 3.7
D. 8.9
हल:- प्रश्ननानुसार,
√2 और √3 के बीच ऐसी संख्या जो पूर्ण वर्ग हो = 2.25
अतः अभीष्ट परिमेय संख्या = √2.25
Ans. 1.5
Q.28 यदि √a + √b = 17 तथा √a – √b = 1 हो तो √ab का मान हैं?
A. 17
B. 18
C. 72
D. 86
हल:- प्रश्ननानुसार,
√a + √b = 17……(1)
√a – √b = 1………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
2√a = 18
√a = 9 और √b = 8
√a.√b = 9 × 8
√a.√b = 72
√ab = 72
Ans. 72
Q.29 यदि √2 = 1.4142 हो, तो ½ (√2 – 1/√2 + 1) का मान होगा?
A. 0.085
B. 0.086
C. 0.850
D. 0.860
हल:- प्रश्नानुसार,
½ [(√2 – 1)/(√2 + 1)] = ½ (√2 – 1)(√2 – 1)/(√2 + 1)(√2 – 1)
= ½ × (2 + 1 – 2√2)/2 – 1
= ½ × (3 – 2√2)
= ½ (3 – 2 × 1.4142)
= ½ (3 – 2.8284)
= ½ × 0.1716
= 0.0858
= 0.086
Ans. 0.086
Q.30 दो संख्याओं का योग 100 व अंतर 37 हैं उनके वर्गों में अंतर होगा?
A. 37
B. 63
C. 100
D. 3700
हल:- माना कि एक संख्या = a
तथा दूसरी संख्या = b
प्रश्नानुसार,
a + b = 100 तथा
a – b = 37
a² – b² = (a + b) (a – b)
= 37 × 100
= 3700
Ans. 3700
उम्मीद हैं आपको वर्गमूल की जानकारी पसंद आयीं होगीं।
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