अवकलन किसे कहते हैं

किसी चर राशि के किसी अन्य चर राशि के सम्बन्ध में तात्कालिक बदलाव की दर की गणना को अवकलन (Differentiation) कहते हैं तथा इस क्रिया द्वारा प्राप्त दर को अवकलज (Derivative) कहते हैं।

अवकलन की परिभाषा

फलन ƒ का बिन्दु a पर अवकलज निम्नलिखित सीमा के बराबर होता है। f’ (a) lim f(a + h) – f(a) यदि सीमा का अस्तित्व है तो ƒ बिन्दु a पर अवकलनीय कहलाता है।

अवकलन के सूत्र

d/dx (xⁿ) = nxⁿ – 1 d/dx (a) = 0 d/dx (Sinx) = Cosx d/dx (Cosx) = – Sinx d/dx (Tanx) = Sec 2x d/dx (Cotx) = – Cosec 2x d/dx (Secx) = Secx∙Tanx

d/dx (Cosecx) = – Cosecx∙Cotx (d/dx) (sin-1x) = 1 / (1–√x2) (d/dx) (cos-1x) = − 1 / (1–√x2) (d/dx) (cot-1 x) = −1 / (1–√x2) (d/dx) (tan-1 x) = 1 / (1–√x2) (d/dx) (cosec-1 x) = 1 / |x| √(x2 + 1) (d/dx) (sec-1 x) = − 1 / |x| √(x2 + 1) d/dx (ex) = ex d/dx e⁻x = – e x d/dx log x = 1/x d/dx ax = ax log x

d/dx (loga x) = 1/(log a) x d/dx √x = ½ √x d/dx (u.v) = u (d/dx) (v) + v (d/dx) (u) d/dx (u ± v) = (d/dx) (u) ± (d/dx) (v) d/dx (u/v) = [u (d/dx) (v) + v (d/dx) (u)]/v²

Sin(A – B) = Sin A.Cos B − Cos A.Sin B Cos(A + B) = Cos A.Cos B − Sin A.Sin B Sinθ = 2 Sin (θ/2) . Cos (θ/2) Cosθ = cos2(θ/2) – sin2(θ/2) Or 1 – 2sin2θ sin2θ = 2sin(θ) • cos(θ) = [2tanθ / (1+tan2θ)] cos2θ = cos2θ – sin2θ [(1- tan2θ)/(1+tan2θ)]

cos2θ = 2cos²θ −1 = 1 – 2sin²θ tan2θ = (2tanθ)/(1−tan²θ) Sin3θ = 3sinθ – 4sin³θ Cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ tan3θ = [3tanθ – tan³θ ]/[1 – 3tan²θ] 2sin A.sin B = cos(A – B) + cos(A + B) 2cos A.sin B = sin(A + B) – sin(A – B)