अवकलन की परिभाषा, फार्मूला, और अवकलन के सवाल

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Table of Contents

अवकलन किसे कहते हैं

किसी चर राशि के किसी अन्य चर राशि के सम्बन्ध में तात्कालिक बदलाव की दर की गणना को अवकलन (Differentiation) कहते हैं तथा इस क्रिया द्वारा प्राप्त दर को अवकलज (Derivative) कहते हैं।

दूसरे शब्दों में, अवकल गणितीय कैलकुलस का वह भाग है जिसमें परिवर्तन की दर का अध्ययन किया जाता है। यह कैलकुलस का दूसरा भाग है जो इंटीग्रेशन के लगभग विपरीत होता है।

अवकलन की परिभाषा

फलन ƒ का बिन्दु a पर अवकलज निम्नलिखित सीमा के बराबर होता है। f’ (a) lim f(a + h) – f(a)

यदि सीमा का अस्तित्व है तो ƒ बिन्दु a पर अवकलनीय कहलाता है।

अवकलन के सूत्र

d/dx (xⁿ) = nxⁿ – 1
d/dx (a) = 0
d/dx (Sinx) = Cosx
d/dx (Cosx) = – Sinx
d/dx (Tanx) = Sec 2x
d/dx (Cotx) = – Cosec 2x
d/dx (Secx) = Secx∙Tanx
d/dx (Cosecx) = – Cosecx∙Cotx
(d/dx) (sin^-1x) = 1 / (1–√x²)
(d/dx) (cos^-1x) = − 1 / (1–√x²)
(d/dx) (cot^-1 x) = −1 / (1–√x²)
(d/dx) (tan^-1 x) = 1 / (1–√x²)
(d/dx) (cosec^-1 x) = 1 / |x| √(x² + 1)
(d/dx) (sec^-1 x) = − 1 / |x| √(x² + 1)
d/dx (e^x) = e^x
d/dx e⁻^x = – e x
d/dx log x = 1/x
d/dx a^x = a^x log x
d/dx (log_a x) = 1/(log a) x
d/dx √x = ½ √x
d/dx (u.v) = u (d/dx) (v) + v (d/dx) (u)
d/dx (u ± v) = (d/dx) (u) ± (d/dx) (v)
d/dx (u/v) = [u (d/dx) (v) + v (d/dx) (u)]/v²

अवकलन में प्रयोग होने वाले सूत्र

Sin(A – B) = Sin A.Cos B − Cos A.Sin B
Cos(A + B) = Cos A.Cos B − Sin A.Sin B
Sinθ = 2 Sin (θ/2) . Cos (θ/2)
Cosθ = cos²(θ/2) – sin²(θ/2) Or 1 – 2sin²θ
sin2θ = 2sin(θ) • cos(θ) = [2tanθ / (1+tan²θ)]
cos2θ = cos²θ – sin²θ = [(1- tan²θ)/(1+tan²θ)]
cos2θ = 2cos²θ −1 = 1 – 2sin²θ
tan2θ = (2tanθ)/(1−tan²θ)
Sin3θ = 3sinθ – 4sin³θ
Cos3θ = 4cos³θ – 3cosθ
tan3θ = [3tanθ – tan³θ ]/[1 – 3tan²θ]
2sin A.sin B = cos(A – B) + cos(A + B)
2cos A.sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

अवकलन और समाकलन में अंतर

अवकलन	समाकलन
अवकलन का मतलब घटाना होता हैं।	समाकलन का मतलब जोड़ना होता हैं।
अवकलन गणित में हम दिए हुए फलन का अवकलन गुणांक (differential coefficient) ज्ञात करते हैं।	किसी फलन का अवकलन प्राप्त करने की प्रतिलोम (in verse) संक्रिया को समाकलन (integration) कहते हैं।
उदाहरण :- फलन sinx का x के सापेक्ष अवकलन करने पर अवकलन गुणांक cosx होता है।	उदाहरण :- फलन cosx का x के सापेक्ष समाकलन करने पर -sinx होता है।

अवकलन के सवाल

प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a). r = 3 cm. है।
(b). r = 4 cm. है।

हल:- त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²
dA/dr = 2πr

(a). r = 3 cm.
(dA/dr)ᵣ₌₃
= 2 × π × 3
= 6π cm²/cm

(b). r = 4 cm.
(dA/dr)ᵣ₌₄
= 2 × π × 4
= 8π cm²/cm

प्रश्न 2. एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm. है।

हल:- माना x लम्बाई के घन का आयतन V है।
तब V = x³
∴ dv/dt = 3x² . dx/dt
दिया हैं,
dv/dt = 8 cm³⁄s
∴ 3x² dx/dt = 8
dx/dt = 8/3x²
x = 12 पर
(dx/dt)ₓ₌₁₂ = ⁸⁄₃ ×12×12
= ¹⁄₅₄ cm/s
पृष्ठ क्षेत्रफल S = 6x²
ds/dt =6 × 2s dx/dt
= 12 × 12 × ¹⁄₅₄
∵ x = 12
dx/dt = ¹⁄₅₄
= ⁸⁄₃ cm²/s
अत: घन का पृष्ठ क्षेत्रफल ⁸⁄₃ cm²/s से बढ़ रहा है।

प्रश्न 3. एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।

हल:- दिया है
dr/dt = 3 cm/sec
वृत्त का क्षेत्रफल
A = πr²
dA/dt = 2πr dr/dt
(dA/dt)ᵣ₌₁₀ 2π × 10 × 3
∵ (dr/dt = 3)
Ans. 60π cm²/s

प्रश्न 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?

हल:- माना घन के कोर की लम्बाई = x cm
दिया है
dx/dt = 3 cm/s
∴ घन का आयतन v = x³
dv/dt = 3x² dx/dt
= 3x² × 3
= 9x²
(dv/dt)ₓ₌₁₀ = 9(10)²
= 900 cm²/s
Ans. 900 cm²/s
अतः घन का आयतन 900 cm²/s की दर से बढ़ रहा हैं।

प्रश्न 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 सेमी/सेकण्ड की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

हल:- माना r त्रिज्या वाले वृत्ताकार तरंग का क्षेत्रफल A है
दिया है,
dr/dt = 5 cm/s
तथा क्षेत्रफल,
A = πr²
∴ dA/dt = 2πr dr/dt (t के सापेक्ष अवकलन करने पर)
(dA/dt)ᵣ₌₁₀ 2π × 8 × 5
∵ (dr/dt = 4)
= 80π cm²/s
अतः घिरा हुआ क्षेत्रफल 80π cm²/s से बढ़ रहा हैं।

प्रश्न 6. एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r = 4.9 cm है?

हल:- माना r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि c है
दिया है
dr/dt = 0.7 cm/s
c = 2πr
dc/dt = 2π dr/dt
= 2π × 0.7
= 1.4π
dc/dt = 1.4π cm/s
अतः परिधि 1.4 cm/s की दर से बढ़ रही है।

प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है। तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

हल:- दिया है,
dx/dt = -5 cm/min
dy/dt = 4 cm/min
माना,
आयत का क्षेत्रफल = A
परिमाप = p
लम्बाई = x cm,
चौड़ाई = y cm

(a) p = 2(x + y)
dp/dt = 2(dx/dt + dy/dt)
= 2(-5 + 4)
= 2(-1)
= -2 cm/min
अतः परिमाप 2 cm/min की दर से घट रहा है।

(b) A = xy
dA/dt = dx/dt y + x dy/dt
x = 8 cm
y = 6 cm
dx/dt = -5,
dy/dt = 4
dA/dt = -5 × 6 + 8 × 4
30 + 32
2 cm²/min
अतः क्षेत्रफल 2 cm²/min की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा 900 cm³ गैस प्रति सेकण्ड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।

हल:- माना r त्रिज्या वाले गुब्बारे का आयतन V है
दिया हैं,
V = ⁴⁄₃ πr³ …………..(i)
dv/dt = 900 तथा r = 15 cm.
समीकरण t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
dv/dt = ⁴⁄₃ × 3 πr² dr/dt
900 = ¹²⁄₃ × π × 15 × 15 dr/dt
dr/dt = 900/(π × 4 × 15 × 15)
1/π cm/s

प्रश्न 9. एक गुब्बारा जो सदैव लगातार गोलाकार रहता है कि त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।

हल:- माना गुब्बारे का आयतन = V
त्रिज्या = 2
V = ⁴⁄₃ πr³
dV/dr = ⁴⁄₃ π × 3r²
= 4πr²
dV/dr = 4π × 10 × 10 [∵ r = 10]
= 400π cm³/cm

प्रश्न 10. एक 5 m लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 cm दूर है?

हल:- माना सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 m
BC = xm,
AB = y m,
∠ABC = 90°
समकोण ∆ABC में,
x² + y² = 5² = 25
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x dx/dt + 2y dy/dt = 0
2(x dx/dt + y dy/dt) = 0
x dy/dt + y dy/dt = 0 ………………(i)

x = 4, (4)² + y² = 25
y² = 25 – 16
y² = 9
y = 3
दिया हैं,
dx/dt = 2 cm/s
= 0.02 m/sec.
x = 4, y = 3
समीकरण (i) में मान रखने पर,
4 × 0.02 + 3 × dy/dt = 0
dy/dt = -⁰⋅⁰⁸⁄₃
= -⁸⁄₃₀₀
= ⁻²⁄₇₅
= ⁻⁸⁄₃ cm/s
अतः सीढ़ी की ऊंचाई ⁻⁸⁄₃ cm/s की दर से घट रही हैं।

प्रश्न 11. एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x निर्देशांक की तुलना में निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है|

हल:- वक्र का समीकरण
6y = x² + 2 ……………………….(i)
6 dy/dt = 3x² dx/dt …………..(ii)
दिया हैं,
dy/dt = 8 dx/dt
समीकरण (ii) में मान रखने पर,
6 × 8 dx/dt = 3x² dx/dt
x² = 16
x = ± 4
x = 4
y = ⅙ (4³ + 2)
= ⁶⁶⁄₆
= 11
x = -4
y = ⅙ [(⁻4³) + 2]
= ⅙ (-64 + 2)
= ⅙ × -62
= ⁻³¹⁄₃
अतः अभीष्ट बिंदु (4, 11) और (-4, ⁻³¹⁄₃) हैं।

प्रश्न 12. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या 12cm/s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?

हल:- माना r त्रिज्या वाले बुलबुले का आयतन V है।
दिया है,
dr/dt = ½ cm/s
आयतन V = ⁴⁄₃ πr³
= dv/dt = ⁴⁄₃ × 3πr² dr/dt
dv/dt = 4πr² dr/dt
r = 1 व dr/dt = ½ रखने पर
dv/dt = 4π (1)² × ½
= 2π cm³/s
अतः बुलबुले का आयतन 2π cm³/s की दर से बढ़ रहा हैं।

प्रश्न 13. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास 32(2x + 1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

हल:- माना गुब्बारे का आयतन = V
व्यास = ³⁄₂(2x + 1)
r = ³⁄₂ (2x + 1)
V = 4/3 πr³
V = 4/3π [3/4(2x + 1)]³
V = 4/3π × 27/64(2x + 1)³
V = 9π/16 (2x + 1)³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
dV/dx = 9π/16 ⋅ 3(2x + 1)² d/dx (2x + 1)
= 9π/16 . 3(2x + 1)² (2)
= 27π/8(2x + 1)²
Ans. 27π/8(2x + 1)²

प्रश्न 14. एक पाइप से रेत 12 cm3/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंक बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधर की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है।

हल:- माना बालू के शंकु का आयतन = V, ऊँचाई = h, त्रिज्या = r
दिया हैं,
h = r/6
r = 6h,
dV/dt = 12 cm²/s
अब, V = 1/3 πr²h
= ⅓⅓⅓ π (6h)² × h
= π/3 × 36 h³
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
dV/dt = 12 π.3h² dh/dt
12 = 36 × π × h² × dh/dt
12 = 36 × π × (4)² × dh/dt [∴ h = 4 cm]
12 = 36 × 16 × π × dh/dt
dh/dt = ¹²⁄₃₆ × 16 × π
dh/dt = ⅓ × 16 × π
dh/dt = 1/48π cm/s
Ans. 1/48π cm/s

प्रश्न 15. एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्धित कुल लागत C(x) रुपये में C(x) = 0.007×3 – 0.003x² + 15x + 4000 से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।

हल:- दिया है
C = 0.007×3 – 0.003x² + 15x + 4000
∴ सीमान्त लागत
(mx) = dc/dx
= 0.021x² – 0.006x + 15
x = 17 रखने पर
= 0.021 x (17)² – 0.006 x 17 + 15
mc = 0.021 × 289 – 0.006 x 17 + 15
= 6.069 – 0102 + 15
= 20.967
अतः सीमान्त लागत (mc) = 20.97 रुपये।

प्रश्न 16. किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x) = 13×2 + 26x + 15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।

हल:- दिया है,
R(x) = 13x² + 26x + 15.
∴ सीमान्त लागत (MR) = dR/dx = 26x + 26
x = 7 पर,
MR = 26 × 7 + 26
= 208
अतः सीमान्त लागत 3208 रुपये।

प्रश्न 17. एक वृत्त की त्रिज्याr r = 6 cm पर के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है?
(A). 10 π
(B). 12 π
(C). 8 π
(D). 11 π

हल:- माना वृत का क्षेत्रफल = A,
त्रिज्या = r
∴ A = πr²
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
dA/dr = 2πr
परन्तु r = 6 रखने पर,
∴ 2π × 6 = 12πcm²/cm
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18. एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x) = 3x² + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमान्त आय है?
(A). 116
(B). 96
(C). 90
(D). 126

हल:- राजस्व समीकरण है
R(x) = 3x² + 36x + 5
MR = d/dx
R(x) = d/dx (3x² + 36x + 6)
= 6x + 36
= 6(x + 6)
x = 15,
∴ MR = 6 × 21
= 126 रु०
अत: विकल्प (D) सही है।

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