क्षेत्रमिति की परिभाषा, सूत्र और उदाहरण

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पिछले पेज पर हमने घन और घनाभ की जानकारी शेयर की हैं तो उस पोस्ट को भी पढ़े।

चलिए अब हम क्षेत्रमिति की समस्त जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

क्षेत्रमिति की परिभाषा

क्षेत्रमिति गणित की एक ऐसी शाखा हैं जो मापन संबंधित क्रियाओं को पूर्ण करती हैं। मापन में विशेष रूप से यह ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल, आयतन, एवं परिमिति या परिमाप के सूत्रों एवं उनके प्रयोग से संबंध रखती हैं।

क्षेत्रमिति के अंतर्गत हम द्विविमीय और त्रिविमीय आकृति के बारे में पड़ते है। जहाँ हम आयतन, क्षेत्रफल, परिमाप या परिमिति आदि को निकालना सीखते है।

द्विविमीय आकृतियां :- त्रिभुज, समबाहु त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज, विषमबाहु त्रिभुज, न्यूनकोण त्रिभुज, समकोण त्रिभुज, अधिककोण त्रिभुज, आयत, वर्ग, आदि।

त्रिविमीय आकृतियां :- घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, शंकु का छिन्नक आदि आकृतियाँ आती हैं।

क्षेत्रमिति में हम क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन आदि को निकालना सीखते है।

क्षेत्रफल किसे कहते हैं

किसी आकृति का उसके सभी भुजाओं से घिरे हुए तल को उस आकृति का क्षेत्रफल कहते हैं। क्षेत्रफल की इकाई (Unit) वर्गमीटर, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग किलोमीटर आदि होती हैं।

परिमाप किसे कहते हैं

किसी आकृति का सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग उस आकृति का परिमाप कहलाता हैं। परिमाप की इकाई (unit) मीटर, सेंटीमीटर, किलोमीटर आदि होती हैं।

आयतन किसे कहते हैं

किसी त्रिविमीय आकृति द्वारा घिरा गया स्थान आयतन कहलाता हैं। किसी पदार्थ द्वारा घिरे हुए स्थान की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई में व्यक्त किया जाता हैं। आयतन को हमेशा घन इकाई में मापा जाता हैं।

द्विविमीय आकृतियां

द्विविमीय आकृतियों के अंतर्गत त्रिभुज, न्यूनकोण त्रिभुज, समकोण त्रिभुज, अधिककोण त्रिभुज, समबाहु त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज, विषमबाहु त्रिभुज, आयत, वर्ग, आदि।

त्रिभुज की परिभाषा

triangle
त्रिभुज

तीन भुजाओं से घिरा समतल क्षेत्र त्रिभुज कहलाता हैं त्रिभुज के लिए ‘∆’ चिन्ह का प्रयोग किया जाता हैं किसी भी त्रिभुज में तीन भुजाएं, तीन शीर्ष तथा तीन कोण होते हैं त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता हैं।

त्रिभुज के सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

त्रिभुज के प्रकार

type of triangle
त्रिभुज के प्रकार

भुजाओं और कोण के आधार पर त्रिभुज दो प्रकार के होते हैं।

  • भुजाओं के आधार पर त्रिभुज
  • कोण के आधार पर त्रिभुज

1. भुजाओं के आधार पर त्रिभुज

भुजाओं के आधार पर त्रिभुज 3 प्रकार के होते हैं। त्रिभुज का परिमाप हमेशा उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है।

(a). समबाहु त्रिभुज

samabahu tribhuj
समबाहु त्रिभुज

जिस त्रिभुज की सभी भुजाएं आपस में बराबर होती हैं उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं। समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान 60° होता हैं।

समबाहु त्रिभुज के सूत्र

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × भुजा²
समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = √3/4 × भुजा
समबाहु त्रिभुज के अर्धवृत की त्रिज्या R = a/2 × √3
परिवृत की त्रिज्या R = a/√3

(b). समद्विबाहु त्रिभुज

samdvibahu tribhuj
समद्विबाहु त्रिभुज

ऐसा त्रिभुज जिसकी तीन भुजाओं में से कोई दो भुजाएं समान होती हो समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल A = ½ × b × h
दूसरा क्षेत्रफल A = a/4 √(4b² – a²)
तीसरा क्षेत्रफल A = ½ × side2 × sinθ
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप P = 2a + b

(c). विषमबाहु त्रिभुज

vishambahu tribhuj
विषमबाहु त्रिभुज

जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ अलग-अलग लम्बाई की हों उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं। इस त्रिभुज की तीनों भुजाएं अलग-अलग माप की होती हैं।

विषमबाहु त्रिभुज के सूत्र

  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • A = ½ × आधार × ऊँचाई
  • क्षेत्रफल A = ½ × a × b × sinθ
  • त्रिभुज का अर्धपरिधि P = ½ ( a + b + c )
  • क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)

2. कोण के आधार पर त्रिभुज

कोण के आधार पर त्रिभुज 3 प्रकार के होते हैं।

(a). न्यूनकोण त्रिभुज

nyunkon tribhuj
न्यूनकोण त्रिभुज

जिस त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान 90 डिग्री से कम होता है उसे न्यूनकोण त्रिभुज कहते हैं।

न्यूनकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग 180 डिग्री के बराबर होता हैं।

न्यूनकोण त्रिभुज के सूत्र

  • न्यूनकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • न्यूनकोण त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
  • क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)
  • A = ½ × a × b × sinθ
  • न्यूनकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × b × h

(b). समकोण त्रिभुज

samkon tribhuj
समकोण त्रिभुज

जिस त्रिभुज में एक कोण समकोण अर्थात 90° का हो उस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहलाता हैं।

समकोण त्रिभुज के सूत्र

कर्ण की लम्बाई का वर्ग = लम्ब की लम्बाई का वर्ग + आधार की लम्बाई का वर्ग

AC² = AB² + BC²

  • (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
  • समकोण त्रिभुज का कर्ण = √लम्ब² +आधार²
  • समकोण त्रिभुज का लम्ब = √कर्ण² – आधार²
  • समकोण त्रिभुज का आधार = √कर्ण² – लम्ब²
  • समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × आधार × ऊँचाई
  • क्षेत्रफल = A = ½ × b × h
  • कर्ण C = √a² + b²
  • परिमाप = a + b + c
  • ऊँचाई = (a × b)/c

(c). अधिककोण त्रिभुज

adhikakon tribhuj
अधिककोण त्रिभुज

जिस त्रिभुज का एक कोण 90° से अधिक हो उस त्रिभुज को अधिककोण त्रिभुज कहते हैं। इस त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोणों का योग सदैव 180 डिग्री के बराबर होता हैं।

अधिककोण त्रिभुज के सूत्र

  • क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • परिमाप = a + b + c
  • अर्धपरिधि P = ½ ( a + b + c )
  • क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)

चतुर्भुज की परिभाषा

चार भुजाओं से घिरे समतल क्षेत्र को चतुर्भुज कहते हैं किसी भी चतुर्भुज में चार भुजाएँ तथा चार कोण होते हैं चतुर्भुज के चारों कोणों का योगदान चार समकोण अर्थात 360° का होता हैं।

chaturbhuj
चतुर्भुज

रेखाखण्ड AC तथा BD को विकर्ण कहते हैं चतुर्भुज की वे दो भुजाएँ, जिसका कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो, सम्मुख भुजाएँ कहलाती हैं, AB, CD तथा AD, BC सम्मुख भुजाएँ हैं।

AB, CD के सम्मुख भुजाएँ हैं एवं AD, BC के सम्मुख भुजाएँ हैं।

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

चतुर्भुज के सूत्र

  • चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × विकर्णों का गुणनफल
  • चतुर्भुज के क्षेत्रफल = ½ × d(h₁ + h₂)

चतुर्भुज के प्रकार

chaturbhuj
चतुर्भुज के प्रकार

1. वर्ग

चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी चारो भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण अर्थात 90° का हो, उसे वर्ग कहते हैं।

वर्ग
वर्ग

AC तथा BD को विकर्ण कहते हैं तथा ये आपस में एक दूसरे के बराबर होते हैं अर्थात AC = BD

वर्ग के सूत्र

  • वर्ग का क्षेत्रफल = (एक भुजा)² = a²
  • वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णो का गुणनफल) = ½ × AC × BD
  • वर्ग की परिमिति = 4 × a
  • वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × √2 = a × √2
  • वर्ग का विकर्ण = √2 × वर्ग का क्षेत्रफल

2. आयत

आयत
आयत

चार भुजाओं से घिरी वह आकृति, जिसमें आमने सामने की भुजाएँ समान्तर और बराबर होती हैं तथा प्रत्येक कोण समकोण होता हैं आयत कहलाता हैं।

आयत के सूत्र

  • आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
  • आयत का क्षेत्रफल = लंबाई ×चौड़ाई
  • आयत का विकर्ण =√(लंबाई² + चौड़ाई²)

3. समचतुर्भुज

एक ऐसा चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ समान हों समचतुर्भुज कहलाता हैं।

समचतुर्भुज के सूत्र

  • समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ (विकर्णों का गुणनफल)
  • समचतुर्भुज का परिमाप = 4 x भुजा

4. समान्तर चतुर्भुज

जिस चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजाएँ समान एवं समानान्तर हो समान्तर चतुर्भुज कहलाता हैं।

समान्तर चतुर्भुज के सूत्र

  • समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
  • समान्तर चतुर्भुज का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)

5. विषमकोण समचतुर्भुज

चार भुजाओं से घिरी वह आकृति, जिसमें चारों भुजाएं बराबर हों, लेकिन एक भी कोण समकोण न हो, उसे विषमकोण समचतुर्भुज कहते हैं।

विषमकोण समचतुर्भुज के सूत्र

  • विषमकोण चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × दोनों विकर्णो का गुणनफल
  • विषम कोण समचतुर्भुज की परिमाप = 4 × एक भुजा
  • समचतुर्भुज में, (AC)² + (BD)² = 4a²

6. समलम्ब चतुर्भुज

एक ऐसा चतुर्भुज जिसकी भुजाओ का एक युग्म समान्तर हो समलम्ब चतुर्भुज कहलाता हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के सूत्र

  • समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × ऊँचाई × समान्तर भुजाओं का योग
  • समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × h × (AD + BC)

7. चक्रीय चतुर्भुज

ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थिर हो चक्रीय चतुर्भुज कहलाता हैं।

जैसे :- ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°

8. पतंगाकार चतुर्भुज

पतंगाकार में आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर लम्बाई के होते हैं। अर्थात एक विकर्ण, चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता हैं।

इसलिए समान भुजाओं के दो युग्मों के बीच के कोण बराबर होते हैं। और दोनों विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत होते हैं।

बहुभुज किसे कहते हैं

polygon
बहुभुज

बहुभुज का क्षेत्रफल उसको कई त्रिभुजों या चतुर्भुजों या अन्य मानक आकृतियों में बांटकर निकाला जाता हैं यदि बहुभुज में पाँच, छः या दस भुजाएँ हों, तो उसको क्रमशः पंचभुज, छट्भुज, दसभुज कहाँ जाता हैं।

बहुभुज के सूत्र

  • n भुजा वाले चतुर्भुज का अन्तः कोणों का योग = 2(n -2) × 90°
  • n भुजा वाले बहुभुज के बहिष्कोणों का योग = 360°
  • n भुजा वाले समबहुभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = [2(n – 2) × 90°] / n
  • n भुजा वाले समबहुभुज का प्रत्येक भहिष्यकोण = 360°/n

बहुभुज की परिमिति के सूत्र

  • बहुभुज की परिमिति = n × एक भुजा
  • नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 6 × ¼√3 (भुजा)²
  • नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 3√3×½ (भुजा)²
  • नियमित षट्भुज की परिमति = 6 × भुजा
  • समषट्भुज की भुजा = परिवृत की त्रिज्या
  • n भुजा वाले नियमित बहुभुज के विकर्णो की संख्या = n(n – 3)/2

वृत्त किसे कहते हैं

वृत्त एक ऐसी बिंदु का बिंदुपथ हैं, जो इस तरह घूमता हैं कि उसकी दूरी एक स्थिर बिंदु से सदैव बराबर रहती हैं स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र, अचल दूरी को वृत्त की त्रिज्या एवं या अर्द्व्यास तथा बिंदु पथ को पतिधि कहते हैं।

केंद्र से गुजरने वाली वह शीधी रेखा जो वृत्त को दो बराबर खंडों में विभक्त करती हैं वृत्त का व्यास कहलाती हैं, वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या का दोगुना होता हैं।

circle
व्रत

किसी वृत्त की परिधि की लंबाई उसकी व्यास की लंबाई की लगभग 22/7 गुना होती हैं इसे ग्रीक अक्षर π द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं अक्षर π को पाई पड़ा जाता हैं, जहाँ π = परिधि/व्यास = 22/7 = 3.1428571 होता हैं।

परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा को वृत्त की जीवा या चाप कर्ण कहते हैं।

वृत्त के सूत्र

  • वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या = 2r
  • वृत्त की परिधि = 2π त्रिज्या = 2πr
  • वृत्त की परिधि = π × व्यास = πd
  • वृत्त का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या² = πr²
  • वृत्त की त्रिज्या = √वृत्त का क्षेत्रफल/π

अर्द्वव्रत के सूत्र

semicircle
अर्द्वव्रत
  • अर्द्ववृत्त की परिमिति = (n + 2)r = (π + 2)d/2
  • अर्द्ववृत्त का क्षेत्रफल = 1/2πr² = 1/8 πd²

त्रिज्याखण्ड के सूत्र

radius segment
त्रिज्याखण्ड
  • त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल = θ/360° × वृत्त क्षेत्रफल = θ/360° × πr²
  • त्रिज्याखण्ड की परिमिति = (2 + πθ/180°)r
  • वृतखण्ड का क्षेत्रफल = (πθ/360° – 1/2 sinθ)r²
  • वृतखण्ड की परिमिति = (L + πrθ)/180° , जहाँ L = जीवा की लम्बाई
  • चाप की लम्बाई = θ/360° × वृत्त की परिधि
  • चाप की लम्बाई = θ/360° × 2πr
  • दो संकेन्द्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याए R1, R2, (R1 ≥ R2) हो तो इन वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल = π(r²1 – r²2)

त्रिविमीय आकृतियां

त्रिविमीय आकृतियों के अंतर्गत घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, शंकु का छिन्नक आदि आकृतियाँ आती हैं।

घन क्या हैं

घन
घन

घन की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई सामान होती हैं। एक घन में छः फलक, बारह किनारे एवं आठ कोने होते हैं इसके छह बराबर-बराबर आकार के फलक होते हैं हर फलक एक वर्ग होता हैं और छह फलक होने के कारण यह एक प्रकार का षट्फलकी भी कहलाता हैं।

घन के सूत्र

  • घन का आयतन = a × a × a
  • घन का परिमाप = 4 × a × a
  • घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 6 a² वर्ग सेंटीमीटर।
  • घन का विकर्ण = √3a सेंटीमीटर।

घनाभ क्या हैं

घनाभ
घनाभ

छः पृष्ठों से घिरी वह आकृति, जिसमें प्रत्येक पृष्ठ एक आयत होता हैं और सम्मुख पृष्ठ बराबर होते हैं घनाभ कहलाता हैं।

जैसे :- किताब, ईट, दियासलाई की डिबिया संदूक इत्यादि।

घनाभ के सूत्र

  • घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
  • घनाभ का आयतन = l × b × h
  • घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h
  • घनाभ के समस्त पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2(लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई)
  • घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
  • घनाभ के विकर्ण = √(लम्बाई)² + (चौड़ाई)² + (ऊँचाई)²
  • घनाभ का विकर्ण = √l² + b² + h²

बेलन क्या हैं

बेलन ज्यामिति में एक त्रिआयामी ठोस की आकृति है। इसका पार्श्व पृष्ठ वक्र, सिरे समान त्रिज्या के वृत्ताकार होते हैं, बेलन सरल रूप में एक रोलर या समान व्यास का गिलास है।

बेलन
बेलन

किसी वृत्त की परिधि पर लम्ब रूप से हमेशा अपने ही समांतर किसी सरल रेखा के घूमने से जिस पिण्ड का निर्माण होता हैं उसे बेलन कहते हैं।

बेलन के सूत्र

  • बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
    = πr²h
  • बेलन का वक्रप्रष्ठ = आधार की परिमाप × ऊँचाई = 2πrh
  • बेलन का सम्पूर्ण प्रष्ठ = वक्रप्रष्ठ का क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr²
    = 2πr(r + h)
  • खोखले बेलन का आयतन = πh(r₁² – r₂²)
  • खोखले बेलन का वक्रप्रष्ठ = 2πh(r₁² + r₂²)
  • खोखले बेलन का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2πh(r₁ + r₂) + 2π(r₁² – 2r₂²)

शंकु क्या हैं

कोई समकोण त्रिभुज अपने स्थिर लम्ब के चारों ओर घूमकर जिस पिण्ड का निर्माण करता हैं उसे लम्बवृत्तीय शंकु कहते हैं।

दूसरे शब्दों में, शंकु एक त्रिविमीय संरचना होती हैं जो शीर्ष बिंदु और एक आधार को मिलाने वाली रेखाओं द्वारा निर्मित होती हैं यदि किसी शंकु का आधार एक वृत्त हो तो वह लम्ब वृतीय शंकु कहलाता हैं।

cone
शंकु

AC या AE को तिर्यक ऊँचाई तथा CAE को शीर्ष तथा कोण BAC को अर्द्ध शीर्ष कोण कहते हैं।

माना, आधार की त्रिज्या r, ऊँचाई h तथा तिर्यक ऊँचाई हो, तो

शंकु के सूत्र

  • शंकु का आयतन = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
    = ⅓ π²h
  • शंकु का वक्रतल = ½ × आधार की परिधि × तिर्यक ऊँचाई
    = πrl
  • शंकु का सम्पूर्ण सतह = वक्रप्रष्ठ + आधार का क्षेत्रफल = πr (l + r)
  • शंकु की तिर्यक ऊँचाई = √(त्रिज्या)² + (ऊँचाई)²
    L = √r² + h²

गोला की परिभाषा

गोला
गोला

गोला वह ठोस हैं जिसमें केवल एक तल और एक आयाम होता हैं इसके तल का प्रत्येक बिन्दु एक निश्चित बिन्दु से समान दूरी पर होता हैं।

अर्थात गोला एक त्रिविमीय ठोस आकृति आकाश में स्थिर उन सभी बिन्दुओं से मिल कर बना है जो एक निश्चित बिंदु से एक अचर या निश्चित दूरी पर होते है वह गोला कहलाता हैं।

गोला के सूत्र

  • गोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 4πr² वर्ग सेंटीमीटर
  • गोला का आयतन = 4/3 πr³ घन सेंटीमीटर
  • गोलीय शेल का आयतन = ⁴⁄₃ π(R³ – r³)
  • गोलीय शेल के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = ⁴⁄₃ π(R²– r²)
  • घन ने सबसे बड़े गोले का आयतन = ¹⁄₆ a³
  • प्रत्येक घन में सबसे बड़े गोले की त्रिज्या = a/2
  • घन में सबसे बड़े गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = πa²
  • गोले में सबसे बड़े घन की एक भुजा = 2R / √3
  • गोला में सबसे बड़े घन का आयतन = 8√3/a × R³
  • गोला में सबसे बड़े घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 8 r²

शंकु का छिन्नक किसे कहते हैं

शंकु के कुछ उपरी भाग को आधार के समान्तर समतल द्वारा काट देने पर बचे ठोस को शंकु का छिन्नक कहते हैं।

शंकु का ऊपरी भाग आकार में समान रहता है लेकिन नीचे का भाग एक छिन्नक बनाता हैं। यह एक प्रकार का ग्लासनुमा आकृति होता हैं। जो शंकु के दो बराबर भाग में काटने पर प्राप्त होता हैं।

शंकु का छिन्नक
शंकु का छिन्नक

शंकु का छिन्नक के सूत्र

  • शंकु के छिन्नक का आयतन = ⅓ (πh) (R² + r² + Rr)
  • छिन्नक का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πL(R + r)
  • तिर्यक भाग का क्षेत्रफल = π (R + r)³, l² = h² + (R – r)²
  • छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = π[R² + r² + l(R + r)]

क्षेत्रमिति के सूत्र

  • त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
  • समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
  • वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या हैं।)
  • वृत्त की परिधि = 2πr
  • वृत्त की त्रिज्या = परिधि/2r
  • समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × भुजा × भुजा
  • समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
  • शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = (√3/4) × भुजा
  • समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a × √4b²- a²)/4
  • समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + 2b
  • शीर्ष बिंदु A से डाले गए लम्ब की लम्बाई = (√4b² – a²)/2
  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
  • विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
  • आयत का परिमाप = 2(l + b)
  • आयत का क्षेत्रफल = l × b
  • आयत का विकर्ण =√(l² + b²)
  • वर्ग का परिमाप = 4a
  • वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
  • वर्ग का विकर्ण = √2a
  • कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई) × ऊँचाई
  • घन का आयतन = a × a × a
  • घन का परिमाप = 4 × a × a
  • घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 6 a² वर्ग सेंटीमीटर।
  • घन का विकर्ण = √3a सेंटीमीटर।
  • घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
  • घनाभ का आयतन = l × b × h
  • घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h
  • घनाभ के समस्त पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2(लम्बाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लम्बाई)
  • घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
  • घनाभ के विकर्ण = √(लम्बाई)² + (चौड़ाई)² + (ऊँचाई)²
  • घनाभ का विकर्ण = √l² + b² + h²
  • बेलन का आयतन = πr²h
  • बेलन का वक्रप्रष्ठ = आधार की परिमाप × ऊँचाई = 2πrh
  • बेलन का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2πr(r + h)
  • खोखले बेलन का आयतन = πh(r₁² – r₂²)
  • खोखले बेलन का वक्रप्रष्ठ = 2πh(r₁² + r₂²)
  • खोखले बेलन का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2πh(r₁ + r₂) + 2π(r₁² – 2r₂²)
  • शंकु का आयतन = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
  • शंकु का वक्रतल = ½ × आधार की परिधि × तिर्यक ऊँचाई
  • शंकु का सम्पूर्ण सतह = वक्रप्रष्ठ + आधार का क्षेत्रफल = πr (l + r)
  • शंकु की तिर्यक ऊँचाई L = √r² + h²
  • गोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 4πr² वर्ग सेंटीमीटर
  • गोला का आयतन = 4/3 πr³ घन सेंटीमीटर
  • गोलीय शेल का आयतन = ⁴⁄₃ π(R³ – r³)
  • गोलीय शेल के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = ⁴⁄₃ π(R²– r²)
  • घन ने सबसे बड़े गोले का आयतन = ¹⁄₆ a³
  • प्रत्येक घन में सबसे बड़े गोले की त्रिज्या = a/2
  • घन में सबसे बड़े गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = πa²
  • गोले में सबसे बड़े घन की एक भुजा = 2R / √3
  • गोला में सबसे बड़े घन का आयतन = 8√3/a × R³
  • गोला में सबसे बड़े घन का पृष्ठ क्षेत्रफल = 8 r²
  • शंकु के छिन्नक का आयतन = ⅓ (πh) (R² + r² + Rr)
  • छिन्नक का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πL(R + r)
  • तिर्यक भाग का क्षेत्रफल = π (R + r)³, l² = h² + (R – r)²
  • छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = π[R² + r² + l(R + r)]

क्षेत्रमिति के सवाल

Q.1 एक त्रिभुज की भुजाएं क्रमशः 3 सेंटीमीटर, 4 सेंटीमीटर और 5 सेंटीमीटर हैं इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

हल:- प्रश्ननानुसार,
a = 3 सेंटीमीटर
b = 4 सेंटीमीटर
c = 5 सेंटीमीटर
त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
s = (3 + 4 + 5)/2
s = 12/2
s = 6
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
∆ = √6(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5)
∆ = √6 × 3 × 2 × 1
∆ = √36
∆ = 6
Ans. 6 वर्ग सेंटीमीटर।

Q.2 एक समकोण त्रिभुज जिसका आधार 6 सेमी. तथा कर्ण 10 सेमी. हैं, तो क्षेत्रफल हैं?
A. 24 सेमी.²
B. 30 सेमी.²
C. 40 सेमी.²
D. 48 सेमी.²

हल:- समकोण ∆ की ऊँचाई = √(10² – 6²)
= √(100 – 36)
= √64
= 8 सेमी.
∆ का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
∆ का क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8
∆ का क्षेत्रफल = 24 सेमी.²
Ans. 24 सेमी.²

Q.3 एक त्रिभुज के आधार की लम्बाई 15 मीटर तथा ऊँचाई 12 मीटर हैं, एक दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना हैं तथा इस त्रिभुज के आधार की लंबाई 20 मीटर हैं, इस त्रिभुज की ऊँचाई क्या होंगी?
A. 18 मीटर
B. 8 मीटर
C. 28 मीटर
D. 38 मीटर

हल:- पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
= ½ (15 × 12)
= 90 वर्ग मीटर
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 90
क्षेत्रफल = 180 वर्ग मीटर
आधार = 20 मीटर
दूसरे त्रिभुज की ऊंचाई = (क्षेत्रफल × 2)/आधार
= (180 × 2)/20
Ans. 18 मीटर।

Q.4 किसी त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी. और उसका क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी. हैं यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई 13 सेमी. हैं, तो उसकी सबसे छोटी भुजा की लम्बाई क्या हैं?
A. 3 सेमी.
B. 4 सेमी.
C. 5 सेमी.
D. 6 सेमी.

हल:- माना,
कि त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेमी.
तब, मध्य की भुजा = 30 – (13 + x)
= 30 – 13 – x
= (17 – x) सेमी.
प्रश्ननानुसार,
a = 13, b = x, c = 17 – x
S = (a + b + c)/2
S = (13 + x + 17 – x)/2
S = 30/2
S = 15 सेंटीमीटर
∆ का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
30 = √15(15 – 13)(15 – x)(15 – 17 – x)
30 = √15 × 2 × (15 – x)(2 – x)
(30)² = 30 × (15 – x)(x – 2)
900 = 30 × (15x – 30 – x² + 2x)
900/30 = (17x² – x² – 30)
x² + 17x – 30 – 30 = 0
x² + 17x – 60 = 0
x² – 17x + 60 = 0
x² – 12x – 5x + 60 = 0
x(x – 12) – 5(x – 12) = 0
(x – 12)(x – 5) = 0
x – 12 = 0, x – 5 = 0
x = 12, x = 5
सबसे छोटी भुजा = 5 सेमी.
Ans. 5 सेमी.

Q.5 एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 : 4 : 3 के अनुपात में हैं यदि त्रिभुज की परिमाप 24 सेमी. हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 12 वर्ग सेमी.
B. 24 वर्ग सेमी.
C. 6 वर्ग सेमी.
D. 48 वर्ग सेमी.

हल:- माना त्रिभुज की भुजाएँ = 5x, 4x और 3x
प्रश्ननानुसार,
5x + 4x + 3x = 24
12x = 24
x = 2
अतः भुजाएँ 10, 8 और 6 सेमी.
a = 10, b = 8, c = 6
S = (a + b + c)/2
S = (10 + 8 + 6)/2
S = 24/2
S = 12 सेमी.
∆ का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
∆ का क्षेत्रफल = √12(12 – 10)(12 – 8)(12 – 6)
∆ का क्षेत्रफल = √12 × 2 × 4 × 6
∆ का क्षेत्रफल = √24 × 24
∆ का क्षेत्रफल = 24 वर्ग सेमी.
Ans. 24 वर्ग सेमी.

Q.6 किसी त्रिभुज PQR की भुजाएँ 5 सेमी. 12 सेमी. तथा 13 सेमी. हैं त्रिभुज में एक अन्तः वृत्त बनाया गया हैं उस वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी.) में हैं?
A. 4π
B. 3π/4
C. π
D. 4

हल:- माना,
वृत्त की त्रिज्या r सेमी. हैं
r = √1/15(15 – 5)(15 – 12)(15 – 13)
r = √1/15 × 10 × 3 × 2
r = √4
r = 2 सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= π2²
= 4π
Ans. 4π

Q.7 यदि समबाहु ∆ की एक भुजा 4√3 सेमी. हैं तो उसका क्षेत्रफल होगा?
A. 12/√3 वर्ग सेमी.
B. 24/√3 सेमी.
C. 12/√3 सेमी.
D. 21/√3 सेमी.

हल:- समबाहु ∆ का क्षेत्रफल = √3/4 + (भुजा)²
= √3/4 × (4√3)²
= √3/4 × 16 × 3
= √3 × 4 × 3
= 12√3
Ans. 12√3

Q.8 यदि किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल √3 सेमी.^2 हो, तो उसकी भुजा (सेमी. में) होगी?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

हल:- √3/4 × भुजा² = √3 सेंटीमीटर²
भुजा = √4
भुजा = 2 सेंटीमीटर
Ans. 2

Q.9 किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 400√3 वर्ग मीटर हैं इसका परिमाप हैं?
A. 120 मीटर
B. 150 मीटर
C. 90 मीटर
D. 135 मीटर

हल:- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × (भुजा)²
400√3 = √3/4 × (भुजा)²
भुजा = 40
त्रिभुज का परिमाप = 40 × 3
= 120 मीटर
Ans. 120 मीटर

Q.10 एक समबाहु त्रिभुज जिसका क्षेत्रफल 4√3 वर्ग सेमी. हैं, कि भुजा हैं?
A. 1 सेमी.
B. 2 सेमी.
C. 3 सेमी.
D. 4 सेमी.

हल:- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 (भुजा)²
प्रश्ननानुसार,
√3/4 (भुजा)² = 4√3
भुजा² = 4²
भुजा = 4 सेंटीमीटर.
Ans. 4 सेंटीमीटर

Q.11 यदि एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा उस वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं, जिसका क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. हैं तो समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 7√3 वर्ग सेमी.
B. 49√3/4 वर्ग सेमी.
C. 35/√4 सेमी.
D. 49 वर्ग सेमी.

हल:- वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
154 = 22/7 × r²
r² = (154 × 7) × 22
r² = 7 × 7
r² = 7²
r = 7
त्रिभुज की भुजा = 7 सेंटीमीटर
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × 49
= 49√3/4 वर्ग सेमी.
Ans. 49√3 / 4 वर्ग सेमी.

Q.12 एक आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 7 : 3 हैं यदि मैदान का क्षेत्रफल 189 मीटर^2 हो तो मैदान के चारों और तीन बार लपेटने में कुल कितना तार लपेटना पड़ेगा?
A. 50 मीटर
B. 150 मीटर
C. 180 मीटर
D. 250 मीटर

हल:- आयताकार मैदान की लंबाई = 7x मीटर
तथा आयताकार मैदान की चौड़ाई = 3x मीटर
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
189 = (7x) × (3x)
189 = 21 x²
x² = 189/21
x² = 9
x = 3 मीटर
अतः लम्बाई = 7x
7 × 3 = 21 मीटर
तथा चौड़ाई = 3x
3 × 3 = 9 मीटर
आयताकार मैदान का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
= 2(21 + 9)
= 60 मीटर
अतः तीन चक्कर में लपेटा गया कुल तार = 3 × परिमाप
= 3 × 60
Ans. 180 मीटर

Q.13 एक आयताकार क्षेत्रफल की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 40 मीटर और 30 मीटर हैं उस आयताकार क्षेत्रफल का परिमाप क्या होगा?
A. 140
B. 170
C. 200
D. 280

हल:- आयताकार क्षेत्रफल का परिमाप
लम्बाई = 40 मीटर
चौड़ाई = 30 मीटर
आयत का परिमाप = 2(l + b)
= 2(40 + 30)
= 2 × 70
Ans. 140 मीटर

Q.14 एक आयत की लम्बाई 15 सेंटीमीटर और इसके विकर्ण की लम्बाई 17 सेंटीमीटर हो तो आयत का क्षेत्रफल कितना होगा?
A. 120 वर्ग सेंटीमीटर
B. 220 वर्ग सेंटीमीटर
C. 60 वर्ग सेंटीमीटर
D. 180 वर्ग सेंटीमीटर

हल:- विकर्ण = 17 सेंटीमीटर
लम्बाई = 15 सेंटीमीटर
आयत का विकर्ण =√(l² + b²)
17 = √l² + (15)²
(17)² = l² + (15)²
(17)² – (15)² = l²
289 – 225 = l²
L² = 64
L = 8
आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 8 × 15
Ans. 120 वर्ग सेंटीमीटर।

Q.15 एक कमरा 20 मीटर लम्बा हैं और 15 मीटर चौड़ा हैं इसके फर्श पर 60 सेंटीमीटर चौड़ी दरी बिछाने का खर्च 20 रूपए/मीटर की दर से कितना होगा।
A. 10,000
B. 20,000
C. 5,000
D. 15,000

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20 × 15
= 300 मीटर।
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
300 = l × 60/100
5 = l/100
L = 500
= 500 × 20
= 10,000
Ans. 10,000

Q.16 एक आयताकार पार्क की लम्बाई 90 मीटर और चौड़ाई 60 मीटर हैं, इसके अंदर चारों और 5 मीटर चौड़ा रास्ता हैं, इस रास्ते पर 15 रूपए/वर्ग मीटर की दर से रुड़ी बिछाने का खर्च कितने रूपए होगा?
A. 8000 रूपए
B. 11000 रूपए
C. 31000 रूपए
D. 21000 रूपए

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 90 × 60
= 5400 वर्ग मीटर
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 80 × 50
= 40,000 वर्ग मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = 5400 – 4000
= 1400 वर्ग मीटर
= 1400 × 15
= 21000 रूपए
Ans. 21000 रूपए।

Q.17 एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई में अनुपात 5 : 3 हैं यदि लम्बाई चौड़ाई से 6 मीटर अधिक हो, तो भूखण्ड का क्षेत्रफल क्या हैं?
A. 135 वर्ग मीटर
B. 280 वर्ग मीटर
C. 300 वर्ग मीटर
D. 800 वर्ग मीटर

हल:- माना,
आयताकार भूखण्ड की लम्बाई 5x मीटर हैं।
तथा चौड़ाई = 3x मीटर
5x – 3x = 6
2x = 6
x = 3
लम्बाई = 5 × 3
लम्बाई = 15 मीटर
तथा चौड़ाई = 3 × 3
चौड़ाई = 9 मीटर
भूखण्ड का क्षेत्रफल = 15 × 9
= 135 वर्ग मीटर
Ans. 135 वर्ग मीटर

Q.18 परस्पर समकोण पर काटती हुई 2 मीटर चौड़ी दो सड़के एक आयताकार पार्क जिसका माप 72 मी. × 48 मी. हैं के बीच से गुजरती हैं और प्रत्येक सड़क आयत की एक भुजा के समांतर हैं पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल हैं?
A. 236 वर्ग मीटर
B. 240 वर्ग मीटर
C. 3216 वर्ग मीटर
D. 3220 वर्ग मीटर

हल:- सड़कों का क्षेत्रफल = 27 × 2 + 48 × 2 – 2 × 2
= 144 + 96 – 4
= 144 + 92
= 236 वर्ग मी.
पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल = 72 × 48 – 236
= 3220 वर्ग मी.
Ans. 3220 वर्ग मी.

Q.19 एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल 396 वर्ग मीटर हैं उसकी लम्बाई 22 मीटर हैं, तो चौड़ाई और परिमिति क्या होगी?
A. 80 मीटर
B. 90 मीटर
C. 60 मीटर
D. 50 मीटर

हल:- आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
चौड़ाई = 396/22
चौड़ाई = 18 मी.
परिमिति = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
= 2(22 + 18)
= 2 × 40
= 80 मीटर

Ans. 80 मीटर

Q.20 एक आयताकार खेत के चारों और अंदर से सीमा से लगा हुआ 8 मीटर चौड़ा रास्ता बना हैं यदि खेत को लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 180 मीटर और 150 मीटर हो तो रास्ता का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 2,014 वर्ग मीटर
B. 3,024 वर्ग मीटर
C. 4,879 वर्ग मीटर
D. 5,024 वर्ग मीटर

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 180 × 150
= 27000 वर्ग मीटर
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 164 × 134
= 21,976 वर्ग मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = 27000 – 21,976
= 5024
Ans. 5,024 वर्ग मीटर।

Q.21 एक आयत का क्षेत्रफल 252 वर्ग सेंटीमीटर हैं, इसकी लम्बाई तथा चौड़ाई 9 : 7 हैं, इसका परिमाप क्या हैं?
A. 87 सेंटीमीटर
B. 56 सेंटीमीटर
C. 87 सेंटीमीटर
D. 64 सेंटीमीटर

हल:- आयत का क्षेत्रफल = 252
लम्बाई = 9
चौड़ाई = 7
9x × 7x = 252
63x^2 = 252
x^2 = 4
x = 2
9 × 2 = 18
7 × 2 = 14
आयत का परिमाप = 2(l + b)
= 2(18 + 14)
= 2 × 32
= 64
Ans. 64 सेंटीमीटर।

Q.22 यदि किसी आयताकार भूखण्ड की लम्बाई में 5% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?
A. 2.4%
B. 6.9%
C. 4.9%
D. 5.5%

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 100% × 100%
= (105% × 90%)/100
= 189/2
= 94.5%
= 100% – 94.5%
= 5.5%
Ans. 5.5% की कमी होगी।

Q.23 एक आयत का विकर्ण 10 सेंटीमीटर हैं तथा यह आयत की लम्बाई का 2 गुना हैं, बताइए आयत का क्षेत्रफल कितना हैं?
A. 15√3
B. 25√3
C. 5√3
D. 35√3

हल:- आयत का विकर्ण =√(l² + b²)
10 = √(5)² + b²
10^2 = 5² + b²
100 = 25 + b²
b² = 100 – 25
b² = 75
b = 5√3
क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 5 × 5√3
= 25√3
Ans. 25√3 वर्ग सेंटीमीटर।

Q.24 किसी वर्ग की लम्बाई में बढ़ोतरी 40% तथा चौड़ाई में 40% कमी की जाती हैं परिणामी आयत तथा वर्ग के क्षेत्रफलों में अनुपात होगा?
A. 21 : 25
B. 31 : 35
C. 21 : 40
D. 15 : 16

हल:- यदि वर्ग की प्रत्येक भुजा 100 सेमी. हैं, तो आयत की लंबाई = 140 सेंटीमीटर
तथा आयत की चौड़ाई = 60 सेंटीमीटर
आयत का क्षेत्रफल : वर्ग का क्षेत्रफल
= 8400 : 10000
= 21 : 25
Ans. 21 : 25

Q.25 यदि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 15 वर्ग सेमी. तथा उसके एक विकर्ण की लम्बाई 5 सेमी. हो तो, दूसरे विकर्ण की लम्बाई होगी?
A. 3 सेमी.
B. 4 सेमी.
C. 5 सेमी.
D. 6 सेमी.

हल:- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × एक विकर्ण × दूसरा विकर्ण
15 = ½ × 5 × दूसरा विकर्ण
दूसरा विकर्ण = (15 × 2)/5
= 6 सेमी.
Ans. 6 सेमी.

Q.26 किसी समचतुर्भुज का परिमाप 40 मीटर हैं और उसकी ऊँचाई 5 मीटर हैं इसका क्षेत्रफल हैं?
A. 20 वर्ग मीटर
B. 30 वर्ग मीटर
C. 40 वर्ग मीटर
D. 50 वर्ग मीटर

हल:- समचतुर्भुज की एक भुजा = 40/4
= 10 मीटर
तथा ऊँचाई = 5 मीटर
अभीष्ट क्षेत्रफल = 10 × 5
= 50 वर्ग मीटर
Ans. 50 वर्ग मीटर

Q.27 किसी कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 128 वर्ग मीटर हैं यदि लम्बाई और चौड़ाई आपस मे बराबर हैं तथा ऊँचाई 4 मीटर हैं तो कमरे के फर्श का क्षेत्रफल हैं?
A. 40 वर्ग मीटर
B. 60 वर्ग मीटर
C. 64 वर्ग मीटर
D. 68 वर्ग मीटर

हल:- कमरे के चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 (लम्बाई + चौड़ाई) × ऊँचाई
माना,
कि लम्बाई = x मीटर
तो चौड़ाई = x मीटर
2 ( x + x) × 4 = 128
16x = 128
x = 128/16
x = 8 मीटर
फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 8 × 8
= 64 वर्ग मीटर
Ans. 64 वर्ग मीटर

Q.28 उस वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा जिसके विकर्ण की लंबाई 6 सेंटीमीटर हैं?
A. 28 सेंटीमीटर
B. 38 सेंटीमीटर
C. 8 सेंटीमीटर
D. 18 सेंटीमीटर

उत्तर:- क्षेत्रफल = d²/2
= (6 × 6)/2
= 18
Ans. 18 सेंटीमीटर।

Q.29 एक वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई में 20% की वृद्धि करने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
A. 44% की वृद्धि।
B. 84% की हानि।
C. 44% की वृद्धि।
D. 54% की हानि।

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= [(100% + 20%) × (100% + 20%)]/100
= (120 × 120)/100
= 144
= 144 – 100
= 44%
Ans. 44% की वृद्धि।

Q.30 किसी वर्गाकार खेत की भुजा 45 मीटर हैं उस खेत का क्षेत्रफल होगा?
A. 1560
B. 3053
C. 3590
D. 2025

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 45 × 45
Ans. 2025

Q.31 120 मीटर भुजा केवर्गाकार मैदान के बीचों बीच परस्पर समकोण पर काटती हुए 20 मीटर चौड़ी दो पट्टियां बनी हैं, बताइए पट्टियों को कर शेष मैदान का क्षेत्रफल कितना होगा?
A. 10,000
B. 20,000
C. 5,000
D. 15,000

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 120 × 120
= 14,400 वर्ग मीटर
क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= (120 × 120) + (120 × 120)
= 2400 + 2400
= 4800
क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= 20 × 20
= 400
= 4800 – 400
= 4400
शेष मैदान का शेषफल = 14,400 – 4400
Ans. 10,000

Q.32 एक वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई में 25% की वृद्धि करने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
A. 48.98%
B. 46.25% की वृद्धि।
C. 56.25% की वृद्धि।
D. 90.67%

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
= [(100% + 25%) × (100% + 25%)]/100
= (125 × 125)/100
= 625/4
= 156.25
= 156.25 – 100
= 56.25%
Ans. 56.25% की वृद्धि।

Q.33 किसी आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 35 मीटर और 30 मीटर हैं, इसमें से 5 मीटर भुजा की कितनी वर्गाकार क्यारियां बनाई जा सकती हैं?
A. 42
B. 55
C. 68
D. 90

हल:- (बड़ी वस्तु का क्षेत्रफल)/(छोटी वस्तु का क्षेत्रफल)
= (35 × 30)/(5 × 5)
= 7 × 6
Ans. 42

Q.34 एक आयत और एक वर्ग के क्षेत्रफल समान हैं यदि आयत की लम्बाई 90 मीटर और चौड़ाई 80 मीटर हैं तो वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए?
A. 50√2
B. 60√2
C. 40√2
D. 30√2

हल:- आयत का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
लम्बाई × चौड़ाई = a²
90 × 80 = a²
7200 = a²
a² = 7200
a = √7200
a = 60√2
Ans. 60√2

Q.35 एक त्रिभुजाकर खेत की भुजाएं क्रमशः 20 मीटर, 21 मीटर तथा 29 मीटर लम्बी हैं इस खेत में 25 रूपए प्रति वर्ग मीटर की दर से फसल काटने का खर्च क्या होगा?
A. 4280 रूपए
B. 3950 रूपए
C. 5250 रूपए .
D. 5900 रूपए

हल:- a = 20, b = 21, c = 29
s = (a + b + c)/2
s = (20 + 21 + 29)/2
s = 70/2
s = 35
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
= √35 (35 – 20) (35 – 21) (35 – 29)
= √35 × 15 × 14 × 6
= √210 × 210
= 210
= 210 × 25 रूपए
Ans. 5250 रूपए

Q.36 एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 सेंटीमीटर तथा कर्ण 13 सेंटीमीटर हैं इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
A. 60 वर्ग सेंटीमीटर
B. 90 वर्ग सेंटीमीटर
C. 30 वर्ग सेंटीमीटर
D. 50 वर्ग सेंटीमीटर

हल:- AC² = AB² + BC²
(13)² = (AB)² + (12)²
169 = (AB)² + 144
169 – 144 = (AB)²
(AB)² = 25
AB = 5
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ (आधार × ऊँचाई)
= ½ (12 × 5)
= 6 × 5
Ans. 30 वर्ग सेंटीमीटर।

Q.37 यदि दो वर्गों के क्षेत्रफलों में अनुपात 25 : 36 हैं, तो उनके परिमापों में अनुपात होगा?
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 4 : 3
D. 5 : 6

हल:- वर्ग की भुजाओं का अनुपात = √25/√36
= 5/6
परिमापों का अनुपात = (5 × 4)/(6 × 4)
= 5 : 6
Ans. 5 : 6

Q.38 6.5 मी. × 4.0 मी. की माप वाले एक कमरे के फर्श का वर्गाकार संगमरमर के टुकड़ों से सुसज्जित करना हैं ऐसे बड़े से बड़े सम्भव टुकड़े की लम्बाई होगी?
A. 20 सेमीमीटर
B. 50 सेमीमीटर
C. 100 सेमीमीटर
D. 180 सेमीमीटर

हल:- कमरे की लंबाई = 650 सेमी. तथा
चौड़ाई = 400 सेमी.
अब, 650 और 400 का महत्तम समापवर्तक = 50
अतः प्रत्येक संगमरमर के टुकड़े का साइज = 50 × 50 सेमीमीटर
अतः बड़े से बड़े सम्भव टुकड़े की लम्बाई = 50 सेमी.
Ans. 50 सेमी.

Q.39 एक अर्द्ध गोलाकार खिड़की जिसका व्यास 63 सेमीमीटर हैं कि परिधि क्या होगी?
A. 111 सेमीमीटर
B. 121 सेमीमीटर
C. 158 सेमीमीटर
D. 162 सेमीमीटर

हल:- r = 63/2
गोलाकार खिड़की की परिधि = 2πr/2 + 2r
= 22/7 × 63/2 + 2 × 63/2
= 99 + 63
= 162 सेमीमीटर
Ans. 162 सेमीमीटर

Q.40 एक पहिए का व्यास 1.26 मी. हैं यह 500 चक्कर में कितनी दूरी तय करेगा?
A. 1679 मीटर
B. 1980 मीटर
C. 2487 मीटर
D. 3870 मीटर

हल:- पहिए की परिधि = 22/7 × 1.26
= 3.96 मीटर
500 चक्करों को पूरा करने में चली गई दूरी = 3.96 × 500
= 1980 मीटर
Ans. 1980 मीटर

Q.41 एक वृताकार मैदान के चारों ओर एक वृताकार सड़क हैं जिसके अंदर के घेरे और बाहर के घेरे की लम्बाईयों का अंतर 88 मी. हैं सड़क की चौड़ाई हैं। (π = 22/7)
A. 68 मीटर
B. 45 मीटर
C. 8 मीटर
D. 14 मीटर

हल:- प्रश्ननानुसार,
2πR – 2πr = 88
2π(R – r) = 88
R – r = 88/2π
R – r = 88 / 2 × 22/7
R – r = (88 × 7) / 2 × 22
R – r = 2 × 7
R – r = 14
सड़क की चौड़ाई = R – r = 14 मीटर
Ans. 14 मीटर

Q.42 वर्ग के रूप में मुड़ा हुआ एक तार का क्षेत्रफल 484 वर्ग सेमीमीटर हैं यदि वही तार एक वृत्त के रूप में तोड़ दिया जाए तो घिरने वाला क्षेत्रफल होगा?
A. 587 सेमीमीटर
B. 616 सेमीमीटर
C. 872 सेमीमीटर
D. 987 सेमीमीटर

हल:- 2πr = 4 × √484
= 4 × 22
= 88 सेमीमीटर
अतः 2πr = 88 सेमीमीटर
r = 88/2 × 7/22
r = 14 सेमीमीटर
वृत्त का क्षेत्रफल = 22/7 × 14 × 14
= 616 सेमीमीटर
Ans. 616 सेमीमीटर

Q.43 यदि किसी वृत्त की त्रिज्या दूनी कर दी जाए, तो नए वृत्त की परिधि तथा व्यास में क्या अनुपात होगा?
A. π/2
B. 2π
C. π
D. π + 2

हल:- माना वृत्त की त्रिज्या = r
वृत्त की परिधि = 2πr
वृत्त की त्रिज्या = 2r
वृत्त की परिधि = 2.2πr
= 4πr
नए वृत्त का व्यास = 2.2r
= 4r
अनुपात = 4πr/4r
अनुपात = π
Ans. π

Q.44 किसी कमरे की चौड़ाई ऊँचाई की दूनी परन्तु लम्बाई की आधी हैं। कमरे का आयतन 512 घन मीटर हैं। कमरे की लम्बाई बताइए?
A. 12 मी.
B. 16 मी.
C. 32 मी.
D. 10 मी.

हल:- प्रश्ननानुसार,
माना ऊँचाई = h मीटर,
चौड़ाई = 2h मीटर
लम्बाई = 4h मीटर
आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
512 = 4h × 2h × h
512 = 8h³
h³ = 512/8
h³ = 64
(h³)³ = √64
h = 4
Ans. 4

Q.45 एक घन का प्रत्येक किनारा 5 मीटर हैं, तो उसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल और आयत होगा?
A. 150 वर्ग मीटर, 125 घन मीटर
B. 25 वर्ग मीटर, 75 घन मीटर
C. 190 वर्ग मीटर, 175 घन मीटर
D. 40 वर्ग मीटर, 160 घन मीटर

हल:- प्रश्ननानुसार,
घन का कुल प्रष्ठ क्षेत्रफल = 6 × (भुजा)²
= 6 × 25
= 150 वर्ग मीटर
घन का आयतन = (भुजा)²
= (5)²
= 25
Ans. 25 घन मीटर

Q.46 एक घनाभ की लम्बाई 15 मीटर, चौड़ाई 10 मीटर तथा ऊँचाई 4 मीटर हैं। इसका सम्पूर्ण प्रष्ठ हैं?
A. 420 वर्ग मी.
B. 450 वर्ग मी.
C. 500 वर्ग मी.
D. 600 वर्ग मी.

हल:- प्रश्ननानुसार,
घनाभ का सम्पूर्ण प्रष्ठ = 2(15 × 10 + 10 × 4 + 4 × 15)
= 500 वर्ग मीटर
उत्तर:- 500 वर्ग मीटर

Q.47 यदि गोले के प्रष्ठ क्षेत्रफल 4 : 25 के अनुपात में हो, तो उनके आयतनों का अनुपात होगा?
A. 4 : 25
B. 25 : 4
C. 125 : 4
D. 8 : 125

हल:- प्रश्नानुसार,
यदि गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ तथा r₂ हो तो
4πr₁² : 4πr₂²
4 : 25
r₁ : r₂
2 : 5
4/3 πr₁³ : 4/3 πr₂³
8 : 125
Ans. 8 : 125

Q.48 70 सेंटीमीटर आधार त्रिज्या और 40040 सेंटीमीटर के वक्रपृष्ठ क्षेत्र वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन होगा?
A. 862400 सेंटीमीटर³
B. 863200 सेंटीमीटर³
C. 862200 सेंटीमीटर³
D. 865800 सेंटीमीटर³

हल:- प्रश्नानुसार,
शंकु का वक्रप्रष्ठ = πrl
= 40040
l = 182 सेंटीमीटर
h² = l² – t²
h² = (182)² – (70)²
h² = 28224
h = 168
शंकु का आयतन = ⅓ πr²h
= ⅓ × 22/7 × (70)² × 168
= 862400 सेंटीमीटर
Ans. 862400 सेंटीमीटर³

Q.49 एक बेलन का वक्रप्रष्ठ 264 वर्ग मीटर हैं। उसका आयतन 924 घन मीटर हैं। तो बेलन की ऊँचाई हैं?
A. 4 मीटर
B. 6 मीटर
C. 8 मीटर
D. 10 मीटर

हल:- बेलन का वक्रप्रष्ठ = 2πrh
प्रश्नानुसार,
264 = 2 × 22/7 × rh
rh = 42
πr²h = 924
r = 7
h = 6 मीटर
Ans. 6 मीटर

Q.50 2 सेंटीमीटर भुजा के लकड़ी का एक घन हैं। यदि इसमें अधिकतम आयतन का बेलन काटा जाए तो शेष बची हुई लकड़ी का आयतन कितना होगा?
A. 9/7 घन सेंटीमीटर
B. 10/7 घन सेंटीमीटर
C. 11/7 घन सेंटीमीटर
D. 12/7 घन सेंटीमीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
बेलन की ऊँचाई = 2 सेंटीमीटर
त्रिज्या = 1 सेंटीमीटर
घन का आयतन = 2³
= 8 घन सेंटीमीटर
बेलन का आयतन = 22/7 × 1 × 1 × 2
= 44/7 घन सेंटीमीटर
शेष लकड़ी का आयतन = 8 – 44/7
= (56 – 44)/7
= 12/7 घन सेंटीमीटर
Ans. 12/7 घन सेंटीमीटर

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