Class 10th Maths Solutions Chapter 2 Ex 2.2

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Chapter 2 : बहुपद : एक्साइज – 2.2

प्रश्न 1. निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए?
(i). x² – 2x – 8
(ii). 4s² – 4s + 1
(iii). 6x² – 3 – 7x
(iv). 4u² + 8u
(v). t² – 15
(vi). 3x² – x – 4

(i). x² – 2x – 8

हल:- x² – 2x – 8
x² – 4x + 2x – 8
x(x – 4) + 2(x – 4)
(x – 4) (x + 2)
चूँकि x² – 2x – 8 का मान शून्य होगा जब या तो
x – 4 = 0
⇒ x = 4
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
अतः, x² – 2x – 8 के शून्यक 4 एवं –2 होंगे।

शून्यकों का योग = 4 – 2
= 2
-(-2)/1
= -x का गुणाक/x² का गुणाक

एवं शून्यकों का गुणनफल = 4 (-2)
= -8
= -8/1
= अचर पद/x² का गुणाक
अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(ii). 4s² – 4s + 1

हल:- 4s² – 4s + 1
= (2s – 1)²
चूँकि 4s² – 4s + 1 का मान शून्य होगा जब
2s – 1 = 0
⇒ 2s = 1
⇒ s = 1/2
अतः, 4s² – 4s + 1 के प्रत्येक शून्यक का मान = 1/2

अब शून्यकों का योग = 1/2 + 1/2
= 1
-(-4)/4
= -s का गुणाक/s² का गुणाक

एवं शून्यकों का गुणनफल = 1/2 × 1/2
= 1/4
= अचर पद/s² का गुणाक
अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iii). 6x² – 3 – 7x

हल:- 6x² – 7x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) +1(2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
चूँकि 6x ² – 3 – 7x का मान शून्य होगा जब या तो
2x – 3 = 0
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2
अथवा 3x + 1 = 0
⇒ 3x = -1
⇒ x = –1/3
अतः, 6x² – 3 – 7x के शून्यक 3/2 और –1/3 होंगे।

अब शून्यकों का योग = 3/2 – 1/3
= (9 – 2)/6
7/6
= -(-7)/6
= -x का गुणाक/x² का गुणाक

एवं शून्यकों का गुणनफल = 3/2 × (-1/3)
= -1/2
= -3/6
= अचर पद/x² का गुणाक

अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iv). 4u² + 8u

हल:- 4u² + 8u
= 4u (u + 2)
चूँकि 4u² + 8u का मान शून्य होगा जब या तो u = 0
अथवा u + 2 = 0
⇒ u = -2
अतः 4u ² + 8u के शून्यक 0 और -2 होंगे।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2)
= -2
-(8)/4
= -u का गुणाक/u² का गुणाक
एवं शून्यकों का गुणनफल = 0 × (-2)
= 0
= 0/4
= -3/6
= अचर पद/u² का गुणाक
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(v). t² – 15

हल:- t² – 15
= (t)² – ( √15)²
= (t + √ 15) (t – √ 15)
चूँकि t² – 15 का मान शून्य होगा जब या तो
t + √15 = 0
⇒ t = – √15
अथवा t – √15
⇒ t = √15
अतः, t² – 15 के शून्यक – √15 और √15 होंगे।
अब शून्यकों का योग = – √15 + √15 = 0 = −0/1
-15/1 = अचर पद/t² का गुणाक
अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(vi). 3x² – x – 4

हल:- 3x² – x – 4
3x² – x – 4
= (3x – 4) (x + 1)
चूँकि 3x² – x – 4 का मान शून्य होगा जब
या तो 3x – 4 = 0
⇒ 3x = 4
⇒ x = 4/3
अथवा x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अतः, 3x² – x – 4 के शून्यक 4/3 और -1 होंगे।

अब शून्यकों का योग = 4/3 + (-1) = 1/3
= -(-1)/3
= -x का गुणाक/x² का गुणाक

एवं शून्यकों का गुणनफल = 4/3 × (-1)
= -4/3
= अचर पद/x² का गुणाक
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्या हैं?
(i). 14, -1
(ii). √ 2, 1/3
(iii). 0, √ 5
(iv). 1,1
(v). –1/4, 1/4
(vi). 4,1

(i). 14, -1

हल:- मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक a एवं B हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = 14 = – 𝑏/𝑎 = −(−1)/4
और α.β = -1 = 𝑐/𝑎 = (−4)/4 (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 4 तब b = -1 एवं c = – 4 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं।
4x² – x – 4 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – x – 4) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(ii). √2, 1/3

हल:- मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
𝛼+𝛽 = −𝑏/𝑎
= √2 = −(−3/√2)/3
और 𝛼⋅𝛽 = 𝑐/𝑎
= 1/3 (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 3 तब b = – 3/√2 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 3x² – 3√2x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (3x² – 3√2 x + 1) होगा जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iii). 0, √5

हल:- मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसमें शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
𝛼+𝛽 = −𝑏/𝑎
= 0
= −0/1
और α.β = 𝑐/𝑎
= √5
= 5√1
⇒ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = √5 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x² + 0.x + √5 अर्थात् x² + √5 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (x² + √5) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iv). 1,1

हल:- मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते ‘हैं कि
𝛼+𝛽 = −𝑏/𝑎
=1 = −(−1)/1
और α.β = 𝑐/𝑎
= 1 = 1/1
⇒ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(v). –1/4, 1/4

हल:- मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α + β = – 𝑏/𝑎 = – 1/4
और α.β = 𝑐/𝑎 = 1/4
⇒ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(vi). 4, 1

हल:- मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = – 𝑏/𝑎
= 4 = – (−4)/1
और α.β = 𝑐/𝑎
= 1 = 1/1
⇒ यदि a = 1 तब b = – 4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x² + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

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