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चलिए आज हम त्रिकोणमितीय फलन की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।
त्रिकोणमितीय फलन
त्रिकोणमितीय फलनों में हम Sin x, Cos x, Tan x, Cot x, Sec x, Cosec x के बारे में जानते हैं। वह फलन जो प्रत्येक संख्या x के संगत sin x को निदिर्ष्ट करता हैं ज्या फलन कहलाता हैं।
| फलन | डोमेन | रेंज |
|---|---|---|
| f(x) = Sin x | R | [-1, 1] |
| f(x) = Cos x | R | [-1, 1] |
| f(x) = Tan x | R − {(2n +1) π/₂ : n ∉ I} | (-∞, ∞) |
| f(x) = Cot x | R − {nπ : n ∉ I} | (-∞, ∞) |
| f(x) = Sec x | R − {(2n +1) π/₂ : n ∉ I} | [(-∞, -1) ∪ (1, ∞)] |
| f(x) = Cosec x | R − {nπ : n ∉ I} | [(-∞, -1) ∪ (1, ∞)] |
त्रिकोणमितीय फलन के प्रश्न एवं उनके हल
Q.1 यदि f(x) = x/(x – 1) हो, तो सिद्ध कीजिए कि f (sec²θ) = cosec²θ
हल : f(x) = x/(x/x-1)
∴ x = sec²θ रखने पर,
f (sec²θ) = sec²θ/sec²θ – 1
= sec²θ/1 + tan²θ − 1
= sec²θ/tan²θ
= 1 + tan²θ/tan²θ
= 1 + cot²θ
= cosec²
Ans. cosec²
Q.2 यदि f(x) = logₑ(1 – x)/(1 + x) हो, तो सिद्ध कीजिए कि f(a) + f(b) = f (a + b)/(1 + ab)
हल : f(x) = logₑ(1 – x)/(1 + x)
∴ x = (a + b)/(1 + ab) रखने पर,
R. H. S. = f[(a + b)/(1 + ab)]
= log [1 − (a + b)/(1 + ab)/1 + (a + b)/(1 + ab)]
= logₑ (1 + ab − a − b)/(1 + ab + a + b)
= logₑ [(1 − a) (1 – b)/(1 + a) (1 + b)]
= logₑ [(1 − a)/(1 + a) + logₑ (1 − b) (1 + b)]
= f(a) + f(b) L. H. S. यही सिद्ध करना था।
Q.3 फलन f (x) = 11 – 7 sin x का रेंज ज्ञात कीजिए ?
हल : यहाँ f(x) = 11 – 7 sin x
हम जानते हैं कि x के सभी वास्तविक मानों के लिए,
−1 ≼ sin x ≼ 1
अतएव इसे -7 से गुणा करने पर,
7 ≽ -7 sin x ≽ -7
11 + 7 ≽ 11 − 7 sin x 11 − 7
18 ≽ 11 − 7 sin x ≽ 4
18 ≽ f(x) ≽ 4
4 ≼ f(x) ≼ 18
अतः f का रेंज बंद अंतराल [4, 18] हैं।
Q.4 निम्न फलन का परिसर व परास ज्ञात कीजिए ?
y = sin⁻¹ (2x + 1)
हल : y = sin⁻¹ (2x + 1)
sin y (2x + 1)
यदि x = 0 तब
sin y = 1 = sin (π/2)
y = π/2
यदि x = -1 तब
sin y = -1 = sin (−π/2)
y = −π/2
दिए गए फलन का डोमेन = {x : -1 ≼ x ≺ 0}
फलन का रेंज = [−π/2, π/2]
Q.5 यदि f(x) = 1 – cos x हो, तो f(π/₄) का मान ज्ञात कीजिए ?
हल : f(x) = 1 – cos x
x = π/₄ रखने पर,
f(π/₄ ) = 1 – cos(π/₄)
= 1 − 1/√2
Ans. 1 − 1/√2
Q.6 यदि f(x) = x² − 1/x² + 1 हो, तो f(a/b) का मान ज्ञात कीजिए ?
f(x) = x² − 1/x² + 1
f (x) = f(a/b)
f(a/b) = (a/b)² − 1/(a/b)² + 1
= (a – b)/b
Ans. (a – b)/b
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