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थेल्स प्रमेय का कथन
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खीचीं जाए तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
दिया हैं :-
∆ABC में DE ∥ BC तथा DE, भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर काटती हैं।
सिद्ध करना हैं :-
AD/DB = AE/EC
रचना :-
BE और CD को मिलाया तथा DG ⊥ AC
तथा EF ⊥ AB खींचा।
उपपत्ति :-
∆ADE व ∆DBE में
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
ar∆ADE = ½ × AD × EF ……….(i)
ar∆DBE = ½ × DB × EF ……….(ii)
समीकरण (1) में समीकरण (2) का भाग देने पर
ar∆ADE/ar∆DBE = (½ × AD × EF)/(½ × DB × EF)
ar∆ADE/ar∆DBE = AD/DB ……….(iii)
अब ∆ADE और ∆ECD में,
ar(∆ADE) = ½ × AE × DG ……….(iv)
ar(∆ECD) = ½ × EC × DG ……….(v)
समीकरण (iv) में समीकरण (v) का भाग देने पर,
ar(∆ADE)/ar(∆ECD) = (½ × AE × DG )/(½ × EC × DG)
ar(∆ADE)/ar(∆ECD) = AE/EC …………..(vi)
ar(∆ADE)/ar(∆DBE) = AE/EC …………..(vii)
समीकरण (iii) व समीकरण (vi) से,
AD/DB = AE/EC
यही सिद्ध करना था।
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