थेल्स प्रमेय का कथन लिखकर सिद्ध कीजिए

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थेल्स प्रमेय का कथन

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खीचीं जाए तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

दिया हैं :-

∆ABC में DE ∥ BC तथा DE, भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर काटती हैं।

सिद्ध करना हैं :-

AD/DB = AE/EC

रचना :-

BE और CD को मिलाया तथा DG ⊥ AC
तथा EF ⊥ AB खींचा।

उपपत्ति :-

∆ADE व ∆DBE में
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
ar∆ADE = ½ × AD × EF ……….(i)
ar∆DBE = ½ × DB × EF ……….(ii)

समीकरण (1) में समीकरण (2) का भाग देने पर

ar∆ADE/ar∆DBE = (½ × AD × EF)/(½ × DB × EF)

ar∆ADE/ar∆DBE = AD/DB ……….(iii)
अब ∆ADE और ∆ECD में,

ar(∆ADE) = ½ × AE × DG ……….(iv)
ar(∆ECD) = ½ × EC × DG ……….(v)

समीकरण (iv) में समीकरण (v) का भाग देने पर,

ar(∆ADE)/ar(∆ECD) = (½ × AE × DG )/(½ × EC × DG)

ar(∆ADE)/ar(∆ECD) = AE/EC …………..(vi)
ar(∆ADE)/ar(∆DBE) = AE/EC …………..(vii)

समीकरण (iii) व समीकरण (vi) से,
AD/DB = AE/EC
यही सिद्ध करना था।

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