विभाज्यता के नियम एवं विभाज्यता के नियम पर आधारित प्रश्न

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चलिए आज हम विभाज्यता के नियम को पढ़ते और समझते हैं।

Table of Contents

विभाज्यता के नियम किसे कहते हैं

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।

किसी भी आधार वाले संख्या-पद्धति जैसे : द्वयाधारी या अष्टाधारी संख्याओं के लिये विभाज्यता के नियम बनाये जा सकते हैं।

2 से विभाज्यता का नियम

जिस संख्या में इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, व 8 हो, वह संख्या 2 से विभाज्य होती हैं।

जैसे :- संख्या 3864 लेते हैं।

हल :- 3864 का विस्तारित रूप
3864 = (3 × 1000) + (8 × 100) + (6 × 10) + 4
चूंकि संख्या 1000, 100 और 10, 2 से पूर्णतः विभाजित हैं तथा 4 भी 2 से पूर्णतः विभाजित हैं।

3864 भी 2 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

जो संख्याएँ 2 से विभाजित हो जाती हैं। उनका इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 होता हैं।

3 से विभाज्यता का नियम

संख्याओं 24, 327, 1215 व 3023 को 3 से भाग कीजिए।
हम देखते हैं कि 24, 327 व 1215 संख्याएँ 3 से विभाजित हो जाती हैं।

संख्या	अंकों का योग
24	2 + 4 = 6
327	3 + 2 + 7 = 12
1215	1 + 2 + 1 + 5 = 9
3023	3 + 0 + 2 + 3 = 8

24, 327, और 1215 के अंकों का योग 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाता हैं।

3023 के अंकों का योग 8 हैं जोकि 3 से विभाजित नहीं होता हैं। अतः 3023, 3 से विभाजित नहीं हैं।

यदि किसी संख्या के सभी अंकों का योग 3 से पूरा-पूरा विभाजित हो जाए तो वह संख्या भी 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।

4 से विभाज्यता का नियम

जिस संख्या के दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाती हैं वह संख्या भी 4 से पूरी तरह विभाजित हो जाएगी।

जैसे :- संख्या 5634

हल :- 5634 को विस्तार रूप में लिखने पर

5634 = (5 × 1000) + (6 × 100) + 34

इकाई और दहाई के अंकों से बनी संख्या 34 चार से पूर्णतः विभाजित हो जाती हैं। अतः संख्या 5634 भी चार से पूर्णतः विभाजित होती हैं।

5 से विभाज्यता का नियम

5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
5 × 7 = 35
5 × 8 = 40
5 × 9 = 45
5 × 10 = 50

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 सभी 5 से विभाजित हैं।

किसी भी संख्या का इकाई का अंक शून्य (0) या पाँच (5) हो तो वह 5 से विभाज्य होगी।

6 से विभाज्यता का नियम

यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो, तो वह संख्या 6 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

जैसे :– संख्या 24618,

2 और 3 दोनों से पूर्णतः विभाज्य है, अतः 24618 संख्या 6 से भी पूर्णतः विभाज्य होगा।

8 से विभाज्यता का नियम

यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से पूर्णतः विभाज्य हो जाते हैं, तो वह संख्या 8 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

जैसे :- 4400, 45,560, 18,9,960 आदि।

9 से विभाज्यता का नियम

यदि किसी संख्या में सभी अंको के योग में 9 का भाग पूर्णतः चला जाता है, तो वह संख्या 9 से पूर्णतः विभाज्य होगी।

संख्या	अंकों का योग
18	1 + 8 = 9
36	3 + 6 = 9
153	1 + 5 + 3 = 9
342	3 + 4 + 2 = 9

18, 36, 153, 342 आदि के अंकों का योग 9 आता हैं।

यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाता हैं तो वह संख्या 9 से विभाजित हो जाएगी।

10 से विभाज्यता का नियम

यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0 हो तो वह 10 से विभाज्य होगी।

जैसे :-

गुणनखण्ड	इकाई का अंक
100	0
1000	0
1200	0
2000	0
5000	0
100000	0

11 से विभाज्यता का नियम

यदि किसी संख्या के विषम और सम स्थानों पर आने वाले अंकों के योगफल का अंतर शून्य (0) या 11 से विभाज्य हैं। तो वह संख्या 11 से विभाज्य होगी।

जैसे :-

संख्याएँ	सम स्थानों के अंकों का योग	विषम स्थानों के अंकों का योग	अंतर
176	6 + 1 = 7	7	7 – 7 = 0
429	9 + 4 = 13	2	13 – 2 = 11
1254	2 + 4 = 6	1 + 5 = 6	2 + 4 = 6
1958	9 + 8 = 17	1 + 5 = 6	17 + 6 = 11
2365	6 + 2 = 8	5 + 3 = 8	8 – 8 = 0

अतः इनमें से प्रत्येक संख्या 11 से विभाज्य हैं।

विभाज्यता के नियम (Divisibility Rule) उन विधियों को कहते हैं जो सरलता से बता देते हैं कि कोई प्राकृतिक संख्या किसी दूसरी संख्या से विभाजित हो सकती है या नहीं।

किसी भी आधार वाले संख्या-पद्धति (जैसे, द्वयाधारी या अष्टाधारी संख्याओं) के लिये ऐसे नियम बनाये जा सकते हैं किन्तु यहाँ केवल दाशमिक प्रणाली (decimal system) के संख्याओं के लिये विभाज्यता के नियम दिये गये हैं।

विभाजन की शर्त/शर्तें	उदाहरण
स्वत:	सभी पूर्णांक 1 से विभाज्य हैं।
संख्या का अन्तिम अंक सम (0, 2, 4, 6, or 8) हो।	2,864 इसमें अन्तिम अंक 4 सम है।
दी हुई संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो। बहुत बड़ी संख्याओं (जिनके अंकों का योग भी बड़ी संख्या हो) के लिये यह नियम अंकों के योग पर भी लागू किया जाता है।	405 : 6 + 3 + 6 = 15 जो कि 3 से विभाज्य है। 16, 499, 205, 854, 376 के अंकों का योग 69 है, 6 + 9 = 15, 1 + 5 = 6, जो स्पष्टत: 3 से विभाज्य है।
संख्या के इकाई स्थान के अंक में दहाई स्थान के अंक का दो गुना जोड़िये। (दहाई स्थान के बांये के सारे अंकों का इसके लिये कोई महत्व नहीं है।)	5,096 : 6 + (2 × 9) = 24
अन्तिम दों अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।	40832 : 32 is divisible by 4.
यदि दहाई स्थान पर स्थित अंक सम हो तथा इकाई स्थान पर 0, 4, या 8 हो। यदि दहाई स्थान का अंक विषम हो तथा इकाई स्थान पर 2, या 6.	40832 : 3 विषम है, तथा अन्तिम अंक 2 है।
अन्तिम अंक 0 या 5	490 : अतिम अंक 0 है।
संख्या 2 और 3 दोनो से विभक्त होती हो।	1,458 : 1 + 4 + 5 + 8 = 18, 1 + 8 = 9, अत: संख्या 3 से विभाज्य है और साथ ही अन्तिम अंक सम होने के कारण 2 से भी विभाज्य है। इसलिये यह संख्या 6 से विभाज्य है।
अन्तिम अंक में अन्य अंकों के योग का चौगुना जोड़ें।	198 : (1 + 9) × 4 + 8 = 48
निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य होनी चाहिये :
दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों का तीन-तीन का समूह बनाकर इनका एकान्तर योग निकालिये।	1,369, 851 : 851 – 369 + 1 = 483 = 7 × 69
अन्तिम अंक का दोगुना, बाकी संख्या से घटाइये और जांचिये कि परिणाम 7 से विभाज्य है या नहीं।	483 : 48 – (3 × 2) = 42 = 7 x 6.
या, अन्तिम संख्या के पाँच गुने में बाकी बची संख्या को जोड़िये।	483 : 48 + (3 × 5) = 63 = 7 x 9.
निम्नलिखित प्रक्रिया करने के बाद प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिये।
यदि ‘सैकड़ा’ के स्थान वाला अंक सम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	624 : 24
यदि सैकड़ा के स्थान पर वाला अंक विषम है तो अन्तिम दो अंकों से बनी संख्या में 4 जोड़कर परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	352 : 52 + 4 = 56
इकाई स्थान के अंक को छोड़कर जो संख्या बचती है उसके दोगुने में इकाई वाला अंक जोड़िये और परीक्षा कीजिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	56 : (5 × 2) + 6 = 16
संख्या के केवल अन्तिम तीन अंकों से बनी संख्या की परीक्षा कीजिये और देखिये कि यह 8 से विभाज्य है या नहीं।	34152 : केवल 152 के विभाज्यता की परीक्षा कीजिये : 19 x 8
सभी अंकों का योगफल 9 से विभाज्य होना चाहिये। बड़ी संख्याओं के लिये यह क्रिया बार-बार की जा सकती है अर्थात अंकों का योग भी बड़ा हो तो उसकी भी इसी रीति से परीक्षा की जाती है। अन्तिम परिणाम 9 आना चाहिये।	2,880 : 2 + 8 + 8 + 0 = 18 : 1 + 8 = 9
अन्तिम अंक शून्य (0) होना चाहिये।	130 : अन्तिम अंक 0 है।
निम्नलिखित प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 11 से विभाज्य होनी चाहिये।
एकानतर अंकों (एक-एक अंक छोड़कर) का योग-घटाना कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।	918,082 : 9 – 1 + 8 – 0 + 8 – 2 = 22
दायें से बायें तरफ संख्या के अंकों को दो-दो के समूह में योग कीजिये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।	627 : 6 + 27 = 33
अन्तिम अंक को बाकी बचे अंकों से बनी संख्या से घटाइये और देखिये कि यह 11 से विभाजित होता है या नहीं।	627 : 62 – 7 = 55
जो संख़्या, 3 और 4 दोनो से विभाज्य़ हो।	324 : it is divisible by 3 and by 4

विभाज्यता के नियम पर आधारित प्रश्न

Q1. कौन सी संख्या 2 से विभाजित हैं?
A. 122
B. 5900
C. 1210
D. 730

जिस संख्या में इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, व 8 हो, वह संख्या 2 से विभाज्य होती हैं।

(A). 122

हल :- 122 का विस्तारित रूप
122 = (1 × 100) + (2 × 10) + 2
चूंकि संख्या 100 और 10, 2 से पूर्णतः विभाजित हैं तथा 2 भी 2 से पूर्णतः विभाजित हैं।

122 भी 2 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

(B). 5900

हल :- संख्या 5900 में इकाई का अंक 0 हैं।
इसलिए 5900, 2 से पूर्णतः विभाजित हैं।

(C). 1210

हल :- 1210 का विस्तारित रूप
1210 = (1 × 1000) + (2 × 100) + (1 × 10)
चूंकि संख्या 1000, 100 और 10, 2 से पूर्णतः विभाजित हैं।

अतः 1210 भी 2 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

(D). 730

हल :- संख्या 730 में इकाई का अंक 0 हैं।
इसलिए 730, 2 से पूर्णतः विभाजित हैं।

अतः संख्या 122, 5900, 1210, 730 संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

Q.2 कौन सी संख्याएँ 3 से विभाजित हैं?
A. 18
B. 39
C. 435
D. 7821

संख्याओं 18, 39, 435, 435, व 7821 को 3 से भाग कीजिए।

हम देखते हैं कि 18, 39, 435, 435, व 7821 संख्याएँ 3 से विभाजित हो जाती हैं।

संख्या	अंकों का योग
18	1 + 8 = 9
39	3 + 9 = 12
435	4 + 3 + 5 = 12
7821	7 + 8 + 2 + 1 = 18

18, 39, 435, 435, व 7821 के अंकों का योग 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाता हैं।

अतः संख्या 18, 39, 435, 435, व 7821 संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

Q.3 कौन सी संख्याएँ 4 से विभाजित हैं?
A. 318
B. 5724
C. 8322
D. 6422

(B). 5724

हल :- 5724 को विस्तार रूप में लिखने पर

5724 = (5 × 1000) + (7 × 100) + 24

इकाई और दहाई के अंकों से बनी संख्या 24 चार से पूर्णतः विभाजित हो जाती हैं। अतः संख्या 5724 भी चार से पूर्णतः विभाजित होती हैं।

अतः संख्या 5724, 4 से पूर्णतः विभाजित हैं।

Q.4 कौन सी संख्याएँ 9 से विभाजित हैं?
A. 63
B. 315
C. 1341
D. 117

संख्या	अंकों का योग
63	6 + 3 = 9
315	3 + 1 + 5 = 9
1341	1 + 3 + 4 + 1 = 9
117	1 + 1 + 7 = 9

अतः संख्या 63, 315, 1341, 117 संख्या 9 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

Q.5 कौन सी संख्याएँ 11 से विभाजित हैं?
A. 165
B. 363
C. 1012
D. 2365

संख्या	सम स्थानों के अंकों का योग	विषम स्थानों के अंकों का योग	अंतर
165	6	1 + 5 = 6	6 – 6 = 0
363	6	3 + 3 = 6	6 – 6 = 0
1012	2	1 + 1 = 2	2 – 2 = 0
2365	2 + 6 = 8	3 + 5 = 8	8 – 8 = 0

अतः संख्या 165, 363, 1012, 2365 संख्या 11 से पूर्णतः विभाजित होगीं। अतः सभी संख्याएँ 11 से पूर्णतः विभाजित हैं।

Q.6 कौन सी संख्याएँ 5 से विभाजित हैं?
A. 53
B. 789
C. 1284
D. 1830

किसी भी संख्या का इकाई का अंक शून्य (0) या पाँच (5) हो तो वह 5 से विभाज्य होगी।

5 × 366 = 1830

अतः संख्या 1830, 5 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

Q.7 निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित नहीं है?
A. 34323
B. 85212
C. 73947
D. 57893

संख्याओं 34323, 85212, 73947, व 57893 को 3 से भाग दीजिए।

34323 ÷ 3 = 11,441
85212 ÷ 3 = 28,404
73947 ÷ 3 = 24,649
57893 ÷ 3 = 19,297.666666

हम देखते हैं कि 34323, 85212, व 73947 संख्याएँ 3 से विभाजित हैं।

संख्या	अंकों का योग
34323	3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
85212	8 + 5 + 2 + 1 + 2 = 12
73947	7 + 3 + 9 + 4 + 7 = 30
57893	5 + 7 + 8 + 9 + 2 = 32

34323, 85212, व 73947 के अंकों का योग 3 से पूर्णतः विभाजित हो जाता हैं।

अतः संख्या 34323, 85212, व 73947 संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगीं।

लेकिन संख्या 57893 के अंकों का योग 3 से पूर्णतः विभाजित नहीं होता हैं।

इसलिए 57893 संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित नहीं होगीं।

Q.8 निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 6 से पूर्णतः विभाजित है?
A. 90543
B. 28957
C. 78534
D. 37873

(C). 78534

78534 ÷ 2 = 39,267
78534 ÷ 3 = 26,178
78534 ÷ 6 = 13,089

2 और 3 दोनों से पूर्णतः विभाज्य है, अतः 78534 संख्या 6 से भी पूर्णतः विभाज्य होगी।

Q.9 संख्या 6789_ में रिक्त स्थान पर निम्न में मे से कौनसी संख्या रखे की ये 6 से विभाजित हो?
A. 9
B. 3
C. 6
D. 8

67899 ÷ 6 = 11,316.5
67893 ÷ 6 = 11,315.5
67896 ÷ 6 = 11,316
67898 ÷ 6 = 11,316.333333

अतः संख्या 6789 में _ के स्थान पर यदि 6 रखा जाए तो संख्या 67896, 6 से पूर्णतः विभाजित होती हैं।

Q.10 5432*7, 9 से विभाजित हो तो * के स्थान पर निम्न में से कौनसी संख्या होंगी?
A. 4
B. 6
C. 9
D. 1

543247 ÷ 9 = 60,366.777777
543267 ÷ 9 = 60,363
543297 ÷ 9 = 60,366.333333
543217 ÷ 9 = 60,357.444444

अतः संख्या 5432*7 में * के स्थान पर यदि 6 रखा जाए तो संख्या 543267, 9 से पूर्णतः विभाजित होती हैं।

जरूर पढ़िए : स्थानीयमान और जातीयमान

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