अर्धगोला किसे कहते हैं अर्धगोला के सूत्र, ट्रिक्स और उदाहरण

नमस्कार दोस्तों आज के इस आर्टिकल में हम अर्धगोला की जानकारी पढ़ने वाले हैं तो इस आर्टिकल को पूरा जरूर पढ़िए।

पिछले पेज पर हम गोला और वृत्त की जानकारी शेयर की थी तो उस आर्टिकल को भी पढ़े।

चलिए आज के इस पेज पर हम अर्धगोला की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

अर्धगोला किसे कहते हैं?

गोला एक ऐसी ज्यामितीय त्रि-आयामी अथवा त्रिविमीय (3-D) संरचना या आकृति होती है, जिसमें कोई किनारा या कोना नहीं होता तथा यह किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर स्थित, सभी बिंदुओं के समूह के रूप में चित्रित किया जाता है।

अर्धगोला

गोले के आधे भाग को ही अर्धगोला कहा जाता है। जब एक गोले को केंद्र में से दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो अर्धगोले का निर्माण होता है।

अर्धगोले का सबसे अच्छा उदाहरण बाउल है। ठीक उसी प्रकार पृथ्वी के भी दो अर्धगोले अर्थात् दक्षिणी गोलार्ध और उत्तरी गोलार्ध होते हैं।

अर्धगोले का आयतन का सूत्र

किसी भी अर्धगोले का आयतन, अर्धगोलाकार वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान होता है। यदि अर्धगोले का आकार बड़ा हो, तो उसका आयतन अधिक तथा कम आकार के अर्धगोले का आयतन कम होता है।

सही मायनों में अर्धगोला ही गोले का आधा होता है, इसका एक सपाट गोलाकार आधार होता और एक घुमावदार सतह होती है। अर्धगोले का आयतन घन इकाइयों द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण स्वरूप m³, cm³, और mm³ द्वारा ही अर्धगोले का आयतन व्यक्त किया जाता है।

अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³

जहाँ π एक अचर पद है, जिसका मान 3.14 है और r वृत्त की त्रिज्या है।

अर्धगोले के फार्मूला

  • अर्धगोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 πr²
  • अर्धगोले के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 3 πr²
  • अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³

अर्धगोले के गुणधर्म

अर्ध गोले की दो ही सतह होती हैं। पहली सतह चपटी होती है एवं दूसरी सतह वक्र अर्थात curved होती है। चपटी सतह उस अर्ध गोले का आधार कहलाती है।

  • एक अर्धगोले की जो वृत्त के आकार सतह होती है उसके हर बिंदु की केंद्र से दूरी समान होती है।
  • अर्ध गोला एक पूरे गोले को दो भागों में विभाजित किये जाने से बना होता है।
  • एक पूरे गोले को जब हम दो भागों में विभाजित करते हैं तो हमारे पास दो अर्धगोले हो जाते हैं।

अर्धगोले का क्षेत्रफल

अर्धगोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को, आधार के क्षेत्रफल सहित अर्धगोले की बाहरी सतह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कहा जाता है।

अर्धगोले पर दो पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं, अर्थात् वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल जिनकी चर्चा नीचे की गई है।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – इसे अर्धगोले की बाहरी सतह के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसमें केवल गोलार्ध की सतह शामिल है।

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का ½ 

= ½ × 4πr²

= 2πr²

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अगर हम एक गोले एवं अर्धगोले की तुलना करें तो गोले में केवल एक ही सतह होती है लेकिन अर्धगोले में दो सतह होती हैं। एक गोले का पूर्ण एवं वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल एक ही होता है लेकिन एक अर्धगोले में ये दोनों अलग क्षेत्रफल होते हैं।

एक अर्धगोले के पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में चपटी एवं वक्र दोनों सतह को सम्मिलित किया जाता है लेकिन इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में आधार को सम्मिलित नहीं किया जाता है।

यहाँ π से तात्पर्य एक वृत्त कि परिधि से इसके व्यास का अनुपात है। जैसा कि हम जानते हैं एक गोले का क्षेत्रफल 4πr² होता है एवं इसमें केवल घुमावदार सतह होती है तो अगर हम इसे आधा कर देंगे तो हमारे पास अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल आ जाएगा।

अतः

अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1/2 × गोले का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 1/2 × 4πr²

= 2πr² वर्ग unit

अर्धगोले से सम्बन्धित महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर

जैसा कि हमने देखा एक अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल एक पूर्ण गोले के क्षेत्रफल को आधा करने पर निकल गया। अब हमें इसका पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना है तो बस इसके आधार का क्षेत्रफल जोड़ना होगा।

अर्ध गोले का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = अर्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल

= 2πr² + πr²

अतः

अर्ध गोले का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr² वर्ग unit

प्रश्न 1. एक अर्धगोला जिसकी त्रिज्या 10 cm है उसका आयतन ज्ञात कीजिये?

हल : यहाँ हमें इस अर्धगोले की त्रिज्या 10 cm दी गयी है अब हम इसका आयतन निकालेंगे
r = 10 cm
अब हम एक अर्ध गोले का आयतन निकालने का सूत्र निकालेंगे।
अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³
अब हम सूत्र में r का मान लिखेंगे :
= 2/3 × 22/7 × 10 × 10 × 10
= 2/3 × 3140
= 2093.3

प्रश्न 2. एक अर्धगोले की त्रिज्या 4.5cm है। अर्धगोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें?

ज्ञात है : अर्धगोले की त्रिज्या 4.5cm
अर्धगोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 πr²
अर्धगोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 × 22/7 × 4.5 × 4.5
अर्धगोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 127.17 cm²

प्रश्न 3. यदि अर्धगोले का व्यास 8 cm है। तो अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए?

ज्ञात है : अर्धगोले का व्यास = 8 cm
अर्धगोले की त्रिज्या = 4 cm
अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³
अर्धगोले का आयतन = 2/3 × 22/7 × 4 × 4 × 4
अर्धगोले का आयतन = 133.97 cm³
अर्थात, अर्धगोले का आयतन = 134 cm³

प्रश्न 4. अर्धगोले की त्रिज्या 3 cm है तो अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए?

ज्ञात है : अर्धगोले की त्रिज्या = 3 cm
अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³
अर्धगोले का आयतन = 2/3 × 22/7 × 3 × 3 × 3
अर्थात, अर्धगोले का आयतन = 254.34 cm³

प्रश्न 5. यदि अर्धगोले का व्यास 8 सेमी है। तो अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए?

हल : दिया गया है कि
अर्धगोले का व्यास d = 8cm
हम जानते हैं कि, d = 2r
तब, r = 4cm
अर्धगोले का आयतन = 2/3πr³
= 2/3 × 3.14 × (4)³
= 133.97
= 134 लगभग

प्रश्न 6. एक अर्धगोले की त्रिज्या 4.5cm है। अर्धगोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें? 

हल : दिया गया डेटा
r = 4.5m
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =?
CSA = 2πr²
= 2 × 3.14 × 4.5 × 4.5
= 127.17m²

प्रश्न 7. 3 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? 

हल : दिया गया है r = 3cm
TSA = 3πr²
= 3 × 3.14 × 3 × 3
= 84.78

प्रश्न 8. यदि अर्धगोले की त्रिज्या 2 सेमी है, तो अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : दिया गया है r = 2cm
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × 3.14 × 2 × 2
= 25.12

प्रश्न 9. अर्धगोले की त्रिज्या 3 सेमी है तो अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए? 

हल : दिया गया है r = 8cm
अर्धगोले का आयतन = 3πr³
= 3 × 3.14 × 3 × 3 × 3
= 254.34 cm³

प्रश्न 10. 7cm त्रिज्या वाली एक ठोस अर्धगोलाकार वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

हल : हम जानते हैं कि एक ठोस अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना A = 3πr² के रूप में की जाती है।
वस्तु की त्रिज्या है 7cm
तो किसी ठोस वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
9 = 3 × 3.14 × 7 × 7
= 462cm²

प्रश्न 11. एक अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 14cm है। इसमें कितनी मात्रा में पानी आ सकता है?  

हल : हम जानते हैं कि एक अर्धगोले के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है।
V = 2/3πr³
कटोरे की त्रिज्या = 14cm
अतः कटोरे का आयतन = 2/3 × 3.14 × 14 × 14
= 5750 cm³

प्रश्न 12. अर्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जबकि इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग इकाई है। 

हल : दिया गया है कि वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 वर्ग इकाई
वस्तु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना A = 3πr² के रूप में की जाती है।
462 = 3 × π × r²
r² = 49
r = 7 units

प्रश्न 13. अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए जब उसके वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग इकाई है।

हल : दिया गया है, आधार का क्षेत्रफल = 154 वर्ग इकाई।
वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का सूत्र πr² है।
πr² = 154
r² = 154/π
r² = 49
r = 7 इकाई
अर्धगोले का आयतन = 2/3πr³
= ²⁄₃ × 3.14 × 7 × 7 × 7
= 718.67 घन इकाई

प्रश्न 14. अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि उसके आधार का क्षेत्रफल 144cm है। जहां = 22/7 

हल : हम जानते हैं कि अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल πr² है।
144 = 22/7
r² = 144×7/22
r² = 45.81
r = √45.81
r = 6.76 units…

FAQs

Que.1 अर्धगोला शब्द को परिभाषित करें?


Ans :- गोले को दो बराबर भागों में बाँटकर एक अर्धगोले का निर्माण होता है। यह गोले के केंद्र में समतल से विभाजित गोले का एक भाग है। अर्धगोले का एक उदाहरण पृथ्वी, कटोरा, कप, आइसक्रीम स्कूप, टोपी आदि है।

Que.2 अर्धगोले का आयतन कितना होता है?


Ans :- अर्धगोले का आयतन वह स्थान है जो अर्धगोले द्वारा घेरा जाता है। इसे घन इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। अर्धगोले के आयतन का सूत्र 3πr³ है।

Que.3 अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की परिभाषा दीजिए?


Ans :- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले का बाहरी क्षेत्र है। अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2πr² है।

Que.4 अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?


Ans :- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार क्षेत्रफल का योग होता है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 3πr² है।  

Que.6 अर्ध गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?


Ans :- अर्ध गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 πr2 होता है. जहाँ r अर्धगोला का त्रिज्या है।

Que.7 अर्धगोला का आयतन सूत्र क्या है?


Ans :- अर्धगोला का आयतन सूत्र  2/3 πr3 होता है. जहाँ π का मान 22/7 या 3.14 और r त्रिज्या है।

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