भिन्न की परिभाषा, सूत्र, ट्रिक्स, प्रकार और प्रश्न उत्तर

इस पेज पर आप गणित के महत्वपूर्ण अध्याय भिन्न की जानकारी पढ़ने वाले हैं तो पोस्ट को पूरा जरूर पढ़िए।

पिछले पेज पर हमने अंकगणित की पोस्ट शेयर की हैं तो उस पोस्ट को भी जरूर पढ़े।

तो चलिए इस पेज पर भिन्न की परिभाषा, सूत्र, ट्रिक्स, प्रकार और प्रश्न उत्तर की समस्त जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

भिन्न की परिभाषा

जब किसी राशि को कई बराबर भागों में बांटकर उनमें से कुछ भाग लिया जाए तो उसे भिन्न कहाँ जाता हैं। यदि कोई संख्या x/y के रूप में हो, तो उसे भिन्न कहते हैं। यहाँ x और y दो पूर्णांक संख्या हैं।

जैसे :- 2/3, 4/5, 6/7, 7/8, 910

भिन्न के प्रकार

भिन्नों को मुख्यतः तीन प्रकार से जाना जाता हैं।

• साधारण भिन्न
• दशमलव भिन्न
• सतत/वित्तत लगड़ी भिन्न

1. साधारण भिन्न

जब किसी संख्या का पूर्ण भाग किसी संख्या में नही जाता हैं तो उसे हम साधारण भिन्न कहते हैं। जैसे 4 में 5 से भाग दिया जाए तो इसका पूरा भाग नहीं जाता हैं।

उदहारण :- 2/3, 4/5, 2/7, 8/13, 5/17

अतः 2/3, 4/5, 2/7, 8/13, 5/17 एक साधारण भिन्न हैं।

साधारण भिन्न तीन प्रकार की होती हैं।

• उचित भिन्न
• अनुचित भिन्न
• मिश्रित भिन्न

(a). उचित भिन्न :- ऐसे भिन्न जिसमें हर अंश की अपेक्षा छोटा हो साधारण भिन्न कहलाता हैं।

उदहारण :- 2/3, 5/7, 11/13, 29/33

(b). अनुचित भिन्न :- ऐसा भिन्न जिसमें अंश, हर की उपेक्षा बड़ा हो अनुचित भिन्न कहलाता हैं।

उदहारण :- 7/4, 11/3, 48/5, 105/29

(c). मिश्रित भिन्न :- ऐसा भिन्न जिसमें साधारण संख्या और उचित भिन्न का मिश्रण हो उसे मिश्रित भिन्न कहा जायेगा। और अनुचित भिन्न को हल करने पर मिश्रित भिन्न प्राप्त होता हैं।

उदहारण :- 3 ½, 5 ¼

2. दशमलव भिन्न

दशमलव भिन्न ऐसा भिन्न होता हैं जिसका हर 10 या 10 की कोई घातों के रूप में हो, उसे दशमलव भिन्न कहते हैं।

उदहारण :- 4/10, 16/100, 64/1000

दशमलव भिन्न 2 प्रकार के होते हैं।

• साधारण आवृत दशमलव भिन्न
• मिश्रित आवृत दशमलव

(a). साधारण आवृत दशमलव भिन्न :- ऐसा भिन्न जिसमे दशमलव बिंदु के बाद सभी अंक की पुनरावृत्ति होती हैं, उसे साधारण आवृत दशमलव भिन्न कहते हैं।

उदाहरण :- 3.1515151515…………………..3.15

(b). मिश्रित आवृत दशमलव भिन्न :- ऐसा दशमलव भिन्न जिसमें दशमलव बिंदु के बाद 1 या 2 अंकों के बाद वालें अंको की पुनरावृत्ति होती हैं उसे मिश्रित आवृत दशमलव भिन्न कहते हैं।

उदाहरण :- 0.24343434343434…………………..0.243

3. सतत/वित्तत/लगड़ी भिन्न

इस प्रकार की भिन्न की कोई निश्चित परिभाषा नहीं होती क्योंकि इसके अंश और हर में कोई निश्चित नियम लागू नहीं होता हैं।

उदाहरण :- 1/2/3/4/5

भिन्नों के सवालों को हल करने के लिए ट्रिक्स

Trick 1. यदि a/c, b/c, e/f, g/h, में हर तथा अंश के अंतर बराबर हों अर्थात b – a = d – c = f – e = h-g, तो जिसका अंश सबसे छोटा हैं वह भिन्न सबसे छोटी होगी तथा जिसका अंश सबसे बड़ा हैं वह भिन्न सबसे बड़ी होगी।

Trick 2. जब भिन्नों का अंश समान हो, तो जिस भिन्न का हर सबसे बड़ा होगा, वह भिन्न सबसे छोटी तथा जिस भिन्न का हर सबसे छोटा होगा, वह भिन्न सबसे बड़ी होगी।

Trick 3. जब भिन्नों का हर समान हो, तो वह भिन्न सबसे बड़ी होगी जिसका अंश सबसे बड़ा होगा तथा वह भिन्न सबसे छोटी होगी जिसका अंश सबसे छोटा होगा।

Trick 4. यदि दो या दो से अधिक भिन्नों की श्रेणी में अंश हमेशा हर से छोटा एवं अंश और हर के बीच का अंतर समान हो, तो वह भिन्न सबसे बड़ी होगी जिसका अंश सबसे बड़ा होगा।

Trick 5. यदि दो या दो से अधिक भिन्नों की श्रेणी में अंश हमेशा हर से बड़ा हो एवं अंश और बीच के बीच का अंतर समान हो तो वह भिन्न सबसे बड़ा होगा जिसका अंश सबसे छोटा होगा।

Trick 6. जब मिश्र भिन्नों का योगफल या अंतर ज्ञात करना हो, तो निम्न प्रकार ज्ञात करें।
ac + b/c + de + e/f – gh + h/I = (a + d – g) + (b/c + e/f/ – h/I)

Trick 7. जब मिश्र भिन्न गुणा या भाग के रूप में रहे, तो उसका हल निम्न प्रकार करें।

(ac + b) / c × (de + e) / f = (a × d) + (a × e/f) + (d × b/c) + (b/c × e/f)

भिन्नों को आरोही क्रम और अवरोही क्रम में रखना

आरोही क्रम (Ascending Order)

जब दो या दो से अधिक भिन्नों को बढ़ते क्रम में रखा जाता हैं तब भिन्नों के इस क्रम को आरोही क्रम कहते हैं। इस क्रम में सबसे छोटा भिन्न सबसे पहले तथा सबसे बड़ा भिन्न सबसे अंत में लिखा जाता हैं।

अवरोही क्रम (Descending Order)

जब दो या दो से अधिक भिन्नों को घटते क्रम में सजाया जाता हैं तब भिन्नों के इस क्रम को अवरोही क्रम कहते हैं। इस क्रम में सबसे बड़ा भिन्न सबसे पहले तथा सबसे छोटा भिन्न सबसे अंत में लिखा जाता हैं।

अधिक जानकारी के लिए आरोही क्रम और अवरोही क्रम की पोस्ट पढ़िए।

भिन्नों के जोड़, घटाना, गुणा, भाग

भिन्नों के जोड़ना, घटाना, गुणा, भाग को पढ़िए और समझिए।

भिन्नों का जोड़

इस प्रकार के प्रश्नों में पहले सभी पूर्णाकों को एक साथ जोड़ लेते हैं, फिर भिन्नों के भाग को एक साथ जोड़ते हैं यदि भिन्नों के योग का मान एक से अधिक हो, तो अधिक भाग को पूर्णाक में जोड़ देते हैं।

यदि दोनों भिन्नों के हर एक समान हैं। तो भिन्नों को आसानी से जोड़ा जा सकता हैं। लेकिन यदि भिन्नों के हर असमान हैं। तो हर का LCM निकाल कर हल किया जाता हैं चलिए नीचे कुछ उदाहरण देख लेते हैं।

भिन्नों के जोड़ तीन प्रकार के होते हैं।

• समान आधार का भिन्न
• उभयनिष्ठ आधार का भिन्न
• असमान आधार का भिन्न

(a). समान आधार का भिन्न

इस प्रकार के भिन्नों को जोड़ने के लिए पहले सभी पूर्णाकों को जोड़ते हैं तथा अंशों को जोड़ कर फिर किसी एक हर से भाग देते हैं शेष को पुनः पूर्णाकों में जोड़ देते हैं।

उदाहरण :- 2/5 + 3/5

2/5 + 3/5 = 5/5 = 1

(b). उभयनिष्ठ आधार का भिन्न

इस प्रकार के भिन्नों में एक भिन्न का आधार दूसरे भिन्न से पूरी तरह कट जाता हैं ऐसे भिन्नों को जोड़ने के लिए छोटे हर से बड़े हर में भाग देते हैं तथा जो भागफल प्राप्त होता हैं।

उससे छोटे हर वाले भिन्न के अंश में गुणा कर देते हैं तथा प्राप्त मान को बड़े भिन्न के अंश में जोड़कर मान प्राप्त करते हैं तथा हर के रूप में बड़ा हर को लिखते हैं।

उदाहरण :- 2/3 + 4/9

Trick :- (9 ÷ 3) × 2 + 4 = 10/9

(c). असमान आधार का भिन्न

इस प्रकार के भिन्नों में सभी भिन्नों का आधार अलग-अलग होता हैं आधार न तो समान होते हैं न ही उभयनिष्ठ होता हैं।

इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए भिन्नों के हर को आपस में गुणा करके हर के रूप में लिखते हैं, फिर एक भिन्न के हर से दूसरे भिन्न के अंश में गुणा करते हैं तथा दूसरे भिन्न के हर से पहले भिन्न के अंश से गुणा करते हैं तथा दोनों गुणनफल को आपस में जोड़ देते हैं।

उदाहरण :- :- 4/7 + 3/8

Trick :- (7 × 3 + 8 × 4)/ 7 × 8
= (21 + 32)/56
= 53/56

भिन्नों का घटाना

यदि दोनों भिन्नों के हर एक समान हैं। तो भिन्नों को आसानी से घटाया जा सकता हैं। लेकिन यदि भिन्नों के हर असमान हैं। तो हर का लघुत्तम समापवर्तक निकाल कर हल किया जाता हैं चलिए नीचे कुछ उदाहरण देख लेते हैं।

उदाहरण :- 5/9 – 4/9

5/9 – 4/9 = (5 – 4)/9 = 1/9

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों का गुणा करने के लिए हमें पहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करना होता हैं। और पहली भिन्न के हर को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करना होता हैं।

उदाहरण :- 3/5 × 4/7

3/5 × 4/7 = 12/35

भिन्नों का भाग करना

भिन्नों का भाग करने के लिए सबसे पहले हमें दूसरी भिन्न के अंश को हर की जगह एवं हर को अंश की जगह लिखना होता है। और दूसरी भिन्नों कि संख्या को पलटना पढ़ता हैं जिससे भाग का चिन्ह गुणा के चिन्ह में परिवर्तित हो जाता हैं।

उदाहरण :- 4/5 ÷ 4/5

4/5 ÷ 4/5 = 4/5 × 5/4 = 1

एक भिन्न के दो भाग होते हैं।

• अंश
• हर

1. अंश :- अंश भिन्न का वह भाग होता है जो ऊपर लिखा जाता है। जैसे:- 2/5 में 2 अंश हैं क्योंकि यह ऊपर लिखा जा रहा हैं।

2. हर :- हर भिन्न का वह भाग होता है जो अंश के नीचे लिखा जाता है। जैसे:- 2/5 में 5 हर हैं क्योंकि यह अंश के नीचे लिखा जा रहा हैं।

अधिक जानकारी के लिए अंश और हर की पोस्ट पढ़िए।

भिन्नों पर आधारित प्रश्न उत्तर

प्रश्न1. 1/5, 2/3, 3/4, 5/6 भिन्नों में सबसे बड़ा भिन्न क्या हैं?

उत्तर:- 5/6

प्रश्न2. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों में सबसे बड़ा भिन्न क्या है?

उत्तर:- 9/2

प्रश्न3. 2/5, 1/4, 2/3, 5/6 भिन्नों में सबसे छोटा भिन्न क्या हैं?

उत्तर:- 1/4

प्रश्न4. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों में सबसे छोटा भिन्न कौन सा हैं?

उत्तर:- 22/15

प्रश्न5. 2/5, 1/4, 2/3, 5/6 भिन्नों को बढ़ते क्रम (आरोही क्रम) में लिखिए?

उत्तर:- 1/4 < 2/5 < 2/3 < 5/6

प्रश्न6. 2/5, 1/4, 2/3, 5/6 भिन्नों को घटते क्रम (अवरोही क्रम) में लिखिए?

उत्तर:- 5/6 > 2/3 > 2/5 > 1/4

प्रश्न7. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों को आरोही क्रम में लिखिए?

उत्तर:- 22/15, 19/12, 14/7, 9/2

प्रश्न8. 19/12, 22/15, 14/7, 9/2 भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखिए?

उत्तर:- 9/2, 14/7, 19/12, 22/15

प्रश्न9. 7/10, 5/7, 10/11, 2/5, 4/9 निम्न भिन्नों में से सबसे बड़ा भिन्न कौन सा हैं?

उत्तर:- 10/11

प्रश्न10. 7/4, 11/14, 8/12, 5/9, 1/4 निम्न भिन्नों में से सबसे बड़ा भिन्न कौन सा हैं?

उत्तर:- 11/14

प्रश्न11. निम्लिखित में से कौन-सी संख्या 4/5 तथा 7/13 के मध्य स्थित हैं?

1/2, 2/3, 3/4, 5/7

A. 1/2
B. 2/3
C. 3/4
D. 5/7

हल:- प्रश्ननानुसार,
4/5 = 0.80 तथा 7/13 = 0.54
1/2 = 0.5
2/3 = 0.66
3/4 = 0.75
5/7 = 0.71
अतः 1/2, 4/5 तथा 7/13 के बीच स्थित नहीं हैं।

प्रश्न12. वह भिन्न जिसका हर 30 हैं और जो 5/8 तथा 7/11 के बीच स्थित हैं होगीं?
A. 15/30
B. 12/30
C. 19/30
D. 17/30

हल:- प्रश्नानुसार
30, 8, 11 का ल. स. = 1320
5/8 = (5 × 165)/1320
= 825/1320
7/11 = (7 × 120)/1320
= 840/1320
विकल्प से,
19/30 = 19/1320 × 44
= 836/1320
836, 825 और 840 के बीच स्थित हैं।
अभीष्ट भिन्न = 19/30
उत्तर:- 19/30

प्रश्न13. उस भिन्न का मान ज्ञात कीजिए जिसका 27 के साथ वही अनुपात हैं जो 3/11 का 5/9 के साथ हैं?
A. 1/55
B. 55/99
C. 33
D. 55

हल:- प्रश्नानुसार
माना कि अभीष्ट भिन्न = x हैं।
प्रश्ननानुसार,
27 : x = 3/11 : 5/9
x = 27 × 5/9 × 11/3
x = 55
उत्तर:- 55

प्रश्न14. 3/5 और 7/3 के व्युत्क्रमों के योग का व्युत्क्रम क्या होगा?
A. 44/15
B. 15/44
C. 21/44
D. 44/21

हल:- प्रश्नानुसार
3/5 का व्युत्क्रम = 5/3
7/3 का व्युत्क्रम = 3/7
व्युत्क्रमों के योग = 5/3 + 3/7
= (35 + 9)/21
= 44/21
उत्तर:- 44/21

प्रश्न15. 1/4 एवं 1/7 के योग में से कौन सी भिन्न घटायी जाए कि तीन भिन्नों का औसत 1/21 हो जाए?
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1/7

हल:- प्रश्नानुसार
माना कि x घटाया जाए।
(1/4 + 1/7) – x = 3 × 1/21
x = 1/4
उत्तर:- 1/4

प्रश्न16. किसी संख्या का 5/12 यदि 100 हैं तो उस संख्या का 15/4 भाग क्या होगा?
A. 900
B. 1100
C. 1300
D. 1700

हल:- प्रश्नानुसार,
माना संख्या x हैं।
x × 5/12 = 100
5/12 = 100
x = 100 × 12/5
x = 20 × 12
x = 240
इसी संख्या का 15/4 = 240 × 15/4
संख्या = 60 × 15
संख्या = 900
उत्तर:- 900

प्रश्न17.एक खम्बे का 1/2 भाग सफेद और 1/3 भाग नीला हैं, यदि शेष भाग पीला हो और वह दो मीटर लम्बा हैं तो खम्बे की कुल लम्बाई बताइए?
A. 8 मीटर
B. 12 मीटर
C. 16 मीटर
D. 24 मीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
सफेद = 1/2 भाग
नीला = 1/3 भाग
पीला = 2 मीटर लम्बा
1 – ( 1/2 + 1/3 )
1 – 5 / 6
(6 – 5)/6
1/6
1/6 = 2
2 × 6 = 12 मीटर
उत्तर:- 12 मीटर

प्रश्न18. ?/36 = 576/? में ? का मान हैं?
A. 144
B. 200
C. 99
D. 126

हल:- प्रश्नानुसार,
?/36 = 576/?
?² = 576 × 36
? = √(576 × 36)
? = 24 × 6
? = 144
उत्तर:- 144

प्रश्न19. एक व्यक्ति अपनी आय का 1/3 भोजन पर, अपनी आय का 2/5 मकान किराये पर तथा अपनी आय का 1/5 भाग कपड़ों पर व्यय करता है यदि उसके पास अभी भी 400 रूपये शेष रहते हैं, तो उसकी आय है?
A. 4000
B. 5000
C. 6000
D. 7000

हल:- प्रश्नानुसार,
आय का 1/3 भोजन पर
आय का 2/5 मकान किराये पर
आय का 1/5 भाग कपड़ों पर
1/3 + 2/5 + 1/5
LCM = 15
(5 + 6 + 3)/15
14/15
1 – 14/15
(15 – 14)/15
1/15
1/15 = 400 × 15
1 = 6000
उत्तर:- 6000

प्रश्न20. राजेन्द्र अपनी आय का 1/4 भाग शिक्षा में तथा 1/2 भाग खाने में तथा शेष का 1/8 भाग कपड़े में खर्च करता है यदि वह 2100रू बचत करता तो राजेंद्र की आय ज्ञात करें?
A. 15,300
B. 16,800
C. 17,400
D. 20,800

हल:- प्रश्नानुसार,
आय का 1/4 शिक्षा पर,
आय का 1/2 खाने पर,
आय का 1/8 भाग कपड़ों पर,
1/4 + 1/2 + 1/8
LCM = 8
(2 +4 + 1)/8
7/8
1 – 7/8
(8 – 7)/8
1/8
1/8 = 2100 × 8
1 = 16,800
उत्तर:- 16,800

प्रश्न21. दो परिमेय संख्याओं का योग 1/2 हैं यदि इनमें से एक संख्या -8/19 हो,तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A. 38/39
B. 35/38
C. 38/35
D. 39/32

हल:- प्रश्नानुसार,
माना संख्या x हैं।
x + (-8/19) = 1/2
x = 1/2 + 8/19
2, 19 का LCM 38
x = (19 + 16)/38
x = 35/38
उत्तर:- 35/38

प्रश्न22. किसी कक्षा में कुछ छात्रों की संख्या का 3/5 भाग लड़कियाँ व शेष लड़के हैं। अगर लड़कियों की संख्या 2/9 व लड़कों की संख्या का 1/4 भाग अनुपस्थित हो, तो कक्षा की उपस्थिति क्या हैं?
A. 6/45
B. 16/49
C. 23/27
D. 23/30

हल:- प्रश्ननानुसार,
माना छात्रों की कुल संख्या = 3/5
एवं लड़कों की संख्या = 2/5
अनुपस्थित छात्रों की संख्या = 3/5 × 2/9 + 2/5 × 1/4
= 2/15 + 1/10
= (4 + 3)/30
= 7/30
कक्षा की उपस्थिति = (1 – 7/30)
= (30 – 7)/30
= 23/30
उत्तर:- 23/30

प्रतिशत वृद्धि और कमी पर आधारित प्रश्न

प्रश्न23. यदि अंश और हर में क्रमशः 10% और 20% बड़ा दिया जाए तो नया भिन्न 5/12 प्राप्त होता हैं तो बताइए मूल भिन्न/पुराना भिन्न क्या हैं?
A. 2/3
B. 5/7
C. 3/4
D. 3/11

हल:- प्रश्नानुसार,
अंश में 10% की वृद्धि हो रही हैं एवं हर में 20% की वृद्धि हो रही हैं तो नया भिन्न 5/12 प्राप्त होता हैं।
अंश / हर
(100 + 10)/(100 + 20) = 5/12
110/120 = 5/12
= 5/12 × 120/110
= 5/11
उत्तर:- 5/11

प्रश्न24. यदि किसी भिन्न के अंश में 20% की वृद्वि और हर में 10% की कमी करने पर 16/21 प्राप्त होता हैं तो बताइए मूल भिन्न क्या हैं?
A. 3/4
B. 4/7
C. 5/7
D. 6/11

हल:- प्रश्नानुसार,
अंश में 20% की वृद्धि हो रही हैं एवं हर में 10% की कमी करने पर 16/21 प्राप्त होता हैं।
अंश / हर
(100 + 20)/(100 – 10) = 16/21
120/90 = 16/21
16/21 × 90 /120
16/21 × 3/4
4/7
उत्तर:- 4/7

प्रश्न25. किसी भिन्न के अंश में 15% की वृद्धि करने पर और हर में 8% की कमी करने पर नया भिन्न 15/16 प्राप्त होता हैं, तो पुराना भिन्न बताइये?
A. 2/3
B. 3/4
C. 4/7
D. 7/13

हल:- प्रश्नानुसार,
अंश में 15% की वृद्धि हो रही हैं एवं हर में 8% की कमी करने पर नया भिन्न 15/16 प्राप्त होता हैं।
अंश / हर
(100 + 15)/(100 – 8) = 15/16
115/92 = 15/16
15/16 × 92/115
3/4
उत्तर:-. 3/4

प्रश्न26. किसी भिन्न के अंश में 40% की वृद्धि करने पर हर को 2 गुना करने पर नया भिन्न 5/8 प्राप्त होता हैं, तो पुराना भिन्न बताये?
A. 23/90
B. 25/28
C. 17/23
D. 27/33

हल:- प्रश्नानुसार,
अंश में 40% की वृद्धि हो रही हैं एवं हर को 2 गुना करने पर नया भिंन 5/8 प्राप्त होता हैं।
अंश / हर
(100 + 40)/(100 × 2) = 5/8
140/200 = 5/8
7/10 = 5/8
5/8 × 10/7
25/28
उत्तर:- 25/28

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