अपरिमेय संख्या की परिभाषा, गुण और प्रश्न उत्तर

इस पेज पर आप अपरिमेय संख्या की जानकारी पढ़ने वाले हैं तो पोस्ट को पूरा जरूर पढ़िए।

पिछले पेज पर मैंने पूर्ण संख्या और पूर्णांक संख्या की जानकारी शेयर की हैं तो उन पोस्टों को भी पढ़ें।

चलिए इस पेज पर अपरिमेय संख्याओं की समस्त जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

अपरिमेय संख्या की परिभाषा

ऐसी संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नही लिखा जा सकता और मुख्यतः उन्हें (√) के अंदर लिखा जाता हैं। और कभी भी उनका पूर्ण वर्गमूल नहीं निकलता अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं।

जैसे:-  ∅, π, √3, √7, √11, √17, √105, √207, √557

नोट:- (π एक अपरिमेय संख्या हैं।)

अपरिमेय संख्या को अंग्रेजी में Irrational Number कहते हैं।

अपरिमेय संख्याओं की पहचान कैसे करें

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) वह वास्तविक संख्याएँ है जो परिमेय नहीं है, अर्थात् जिसे भिन्न p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

जहां, p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0 को अपरिमेय संख्याएँ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता अपरिमेय संख्याएँ कहलाती है।

अपरिमेय संख्याओं को हमेशा ( √ ) के रूप में लिखा जाता है।

जैसे:- √2, √5, √7, √33 √73……….

अपरिमेय संख्याओं के गुणधर्म

1. जब दो संख्याएँ जिसमें से एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है तो हमे अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती है। 

जैसे:-

  • 3 + 4√5 = 3 + 4√5 (यह अपरिमेय संख्याएँ है।)      
  • 5√3 + 7√3 = 10√3 (यह अपरिमेय संख्याएँ है।)

2. यदि एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणा किया जाए तो हमे एक अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होगी। 

जैसे:-

  • 5 × 2√3 = 10√3 (यह अपरिमेय संख्याएँ है।)
  • 3√2 × 4 = 12√2 (यह अपरिमेय संख्याएँ है।)

3. दो अपरिमेय संख्या का गुणनफल परिमेय या अपरिमेय संख्याएँ हो सकता है।

जैसे:-

  • √5 × 2√5 = 10 (यह  एक परिमेय संख्या है।)
  • 3√7 × 4√7 = 84 (यह  एक परिमेय संख्या है।)

4. एक से अधिक अपरिमेय संख्या का लघुत्तम परिमेय या अपरिमेय संख्याएँ हो सकता है।

प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याएँ

गणितीय संख्या में ऐसी बहुत सी संख्या हैं जो अपरिमेय संख्याएँ के रूप में लिखी जा सकती हैं। जैसे:- √2, √5, √17, √29 आदि।

लेकिन ऐसी बहुत सी संख्याएँ हैं जिन्हें अपरिमेय संख्याओं के रूप में नहीं नहीं लिखा जा सकता इसलिए नीचे प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याओं को दर्शाया हैं।

π (पाई)22/7 = 3.1428571428571
e (यूलर संख्या)2.718281828
φ (गोल्डन अनुपात)1.61803398874989484820…
√21.4142135623
√31.7320508075
√52.2360679774

अपरिमेय संख्याओं से संबंधित प्रश्न और उत्तर

प्रश्न1. अपरिमेय संख्याएँ कौन सी है?

उत्तर:- ऐसी संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे; π, φ, √5, √7, √13 आदि।

प्रश्न2. क्या π (पाई) एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:- π एक गणितीय नियतांक है जिसका संख्यात्मक मान किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के बराबर होता है अभी तक π का संख्यात्मक मान ज्ञात नही है इसलिए इसे एक अपरिमेय संख्या माना जाता है।

प्रश्न3. √2 और √3 क्या ये एक अपरिमेय संख्याएँ है?

उत्तर:- जी हाँ ये दोनों अपरिमेय संख्याएँ है क्योंकि इन्हें अनुपात के रूप में अर्थात p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

प्रश्न4. √1 क्या एक अपरिमेय संख्या है?

उत्तर:- √1 एक अपरिमेय संख्या नहीं है क्योंकि √1 एक पूर्ण वर्ग है। जिसे 1/1 के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न5. क्या √16 एक परिमेय संख्या है?

उत्तर:- हाँ, √16 एक परिमेय संख्या हैं क्योंकि √16 एक पूर्ण वर्ग संख्या है। √16 का वर्गमूल 4 होता हैं जोकि परिमेय संख्या हैं जिसे (4/1) के रूप में लिखा जा सकता है।

FAQ

Q.1 अपरिमेय संख्या की पहचान कैसे करें?

Ans. वह वास्तविक संख्या है जो परिमेय नहीं है, अर्थात् जिसे भिन्न p /q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहां p और q पूर्णांक हैं, जिसमें q गैर-शून्य है और इसलिए परिमेय संख्या नहीं है।

Q.2 पाई अपरिमेय क्यों है?


Ans. पाई का अनुमानित मान 3.14159265 आंका गया है… और एक अनंत दशमलव संख्या है। इसलिए, उपरोक्त स्पष्टीकरण से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि पाई एक अपरिमेय संख्या है।

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