सरलीकरण की परिभाषा, सूत्र, सरलीकरण के नियम और प्रश्न उत्तर

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चलिए इस पेज पर सरलीकरण की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

सरलीकरण किसे कहते हैं

किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया सरलीकरण कहलाती हैं।

सरलीकरण के अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं जैसे:- जोड़, घटाव, गुणा, भाग आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल किया जाता हैं जिससे दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता हैं।

कोष्ठकों को इसी क्रम में हल करते हैं यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो, तो प्रश्नों को हल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं। अर्थात चिन्ह ऋणात्मक हो जाते हैं।

BODMAS का नियम

BODMAS के नियम में कोष्ठक (Bracket), का (of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), तथा घटाव (Subtraction) की क्रिया एक साथ कि जाती हैं।

कोष्ठक को हल करने में सबसे पहले रेखा कोष्ठक – फिर छोटा कोष्ठक ( ) फिर मझोला कोष्ठ { } फिर बड़ा कोष्ठक [ ] को हल करते हैं।

कोष्ठक हल करने के बाद → का (of) की क्रिया, फिर भाग (÷) की क्रिया, फिर गुणा (×) की क्रिया, फिर जोड़ करते हैं तथा अंत में घटाव की क्रिया करते हैं।

B → कोष्ठक (Bracket)
O → का ( Of )
D → भाग ( Division )
M → गुणा ( Multiplication )
A → योग ( Addition )
S → अन्तर ( Subtraction )

सरलीकरण के सवालों को हल करने के लिए बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता हैं।

सरलीकरण के नियम

(a). उभयनिष्ट गुणक

c(a+b) = ca + cb

(b). द्विपद का वर्ग

(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² – 2ab + b²

(c). दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

a² – b² = (a+b) (a-b)

(d). अन्यान्य सर्वसमिकाएँ (घनों का योग व अंतर)

a³ – b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a+b) (a² – ab + b²)

(e). द्विपद का घन

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(f). बहुपद का वर्ग

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(g). दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

(x + a )(x + b ) = x² + (a + b )x + ab

(h). गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² – ab -bc – ca)

(i). लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

(a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²)
(a+b)² – (a-b)² = 4ab)
(a+b)4 – (a-b)4 = 8ab(a2 + b2)

(j). लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

(a² + b²)(x² + y²) = (ax+by)² + (ay-bx)²
(a² + b² + c²) (x² + y² + z²) = (ax+by+cz)² + (ay-bx)² + (az-cx)² + (bz-cy )²

सरलीकरण से सम्बंधित प्रश्न उत्तर

Q.1 665 का 80% + 34 + 84 – 32 का 400% = ?
A. 226
B. 324
C. 441
D. 522

हल:- प्रश्ननानुसार,
665 का 80% + 34 + 84 – 32 का 400% = ?
665 × 80/100 + 34 + 84 – 32 × 400/100 = ?
133 × 4 + 118 – 32 × 4 = ?
532 + 118 – 128 = ?
650 – 128 = ?
? = 522
Ans. 522

Q.2 (4900 का 7%) + 48 ÷ 24 + 50 का ?% = 10,000 का 20%
A. 3,000
B. 3,200
C. 3,310
D. 3,420

हल:- प्रश्ननानुसार,
(4900 का 7%) + 48 ÷ 24 + 50 का ?% = 10,000 का 20%
(4900 × 7/100) + 48 ÷ 24 + 50 × ?/100 = 10,000 × 20/100
343 + 2 + ? ½ = 2000
(686 + 4 + ?)/2 = 2000
690 + ? = 2000 × 2
690 + ? = 4000
? = 4000 – 690
? = 3,310
Ans. 3,310

Q.3 400 का 80% + 200 का ?% = 800
A. 226
B. 324
C. 441
D. 522

हल:- प्रश्ननानुसार,
400 × 80/100 + 200 × ?/100 = 800
80 × 4 + 2 × ? = 800
320 + 2 × ? = 800
2 × ? = 800 – 320
2 × ? = 480
? = 480/2
? = 240
Ans. 240

Q.4 9800 का 20% + 340 ÷ 4 – (240 का 80%) = ?
A. 226
B. 324
C. 441
D. 522

हल:- प्रश्ननानुसार,
9800 × 20/100 + 340 ÷ 4 – (240 × 80/100) = ?
98 × 20 + 85 – (240 × 80/100) = ?
1960 + 85 – 24 × 8 = ?
1960 + 85 – 192 = ?
2,045 – 192 = ?
? = 1,853
Ans. 1, 853

Q.5 (5 + 5 + 5/5) / (5 + 5 + 5)/5 को सरल कीजिए?
A. 13/3
B. 1
C. 11/3
D. 17/3

हल:- प्रश्ननानुसार,
(5 + 5 + 5/5) / (5 + 5 + 5)/5
(5 + 5 + 1) / (15/5)
Ans. 11/3

Q.6 3120 ÷ 26 + 13 × 30 = ?
A. 536
B. 240
C. 510
D. 497

हल:- प्रश्ननानुसार,
3120 ÷ 26 + 13 × 30 = ?
120 + 390
510
Ans. 510

Q.7 140√? + 315 = 1015
A. 5
B. 15
C. 25
D. 50

हल:- प्रश्ननानुसार,
140√? + 315 = 1015
140√? = 1015 – 315
140√? = 700
√? = 700/140
√? = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√?)² = (5)²
? = 25
Ans. 25

Q.8 (10.5 का 43/7) ÷ (? का 2.1) = 30/7
A. 28/3
B. 43/6
C. 49/57
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
(10.5 का 43/7) ÷ (? का 2.1) = 30/7
10.5 × 43/7 ÷ ? × 2.1 = 30/7
105/10 × 43/7 × 1/? = 30/7
1/? = 30/7 × 2/129 × 21/0
1/? = 6/43
? = 43/6
Ans. 43/6

Q.9 (6 + 6 + 6 + 6) ÷ 6 / (4 + 4 + 4 + 4) ÷ 4 का मान होगा?
A. 4/13
B. 3/2
C. 18/19
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
(6 + 6 + 6 + 6) ÷ 6 / (4 + 4 + 4 + 4) ÷ 4
(24 ÷ 6)/(16 ÷ 4)
4/4
1
Ans. 1

Q.10 78.4 × 10 – √484 / 13 × 11 + 47 + (8)²
A. 1.18
B. 3.49
C. 3
D. 762

हल:- प्रश्ननानुसार,
78.4 × 10 – √484 / 13 × 11 + 47 + (8)²
(784 – 22)/13 × 11 + 47 + 64
762/(143 + 111)
762/254
Ans. 3

Q.11 (0.2 × 0.2 + 0.02 × 0.02 – 0.4 × 0.02)/0.36 का सरल करने पर प्राप्त होता हैं?
A. 11.0
B. 0.9
C. 0.09
D. 0.009

हल:- प्रश्ननानुसार,
(0.2 × 0.2 + 0.02 × 0.02 – 0.4 × 0.02)/0.36
(0.2 – 0.02)² / 0.36
0.18² / 0.36
(0.18 × 0.18)/0.36
Ans. 0.09

Q.12 (75983 × 75983 – 45983 × 45983)/30000 = ?
A. 1,21,966
B. 6,78,092
C. 7,32,6810
D. 6,72,4567

हल:- प्रश्ननानुसार,
(75983 × 75983 – 45983 × 45983)/30000 = ?
(75983)² – (45983)²/(75983 – 45983) = ?
a² – b² = (a + b)(a – b)
a = 75983, b = 45983
(75983 + 45983)(75983 – 45983)/(75983 – 45983) = ?
121966 = ?
Ans. 1,21,966

Q.13 (1/5 ÷ 1/5 का 1/5)/(1/5 का 1/5 ÷ 1/5) का मान होगा?
A. 0.2
B. 1
C. 5
D. 25

हल:- प्रश्ननानुसार,
(1/5 ÷ 1/5 का 1/5)/(1/5 का 1/5 ÷ 1/5)
(1/5 × 5/1 × 1/5)/(1/5 × 1/5 × 5)
1/5 / 1/5
1/5 × 5/1
Ans. 1

Q.14 10 – [9 – {8 – (7 – 6)}] – 5 = ?
A. -5
B. 1
C. 9
D. 3

हल:- प्रश्ननानुसार,
10 – [9 – {8 – (7 – 6)}] – 5 = ?
10 – [9 – {8 – 1}] – 5 = ?
10 – [9 – 7] – 5 = ?
10 – 2 – 5 = ?
10 – 7= ?
? = 3
Ans. 3

Q.15 ⅜ – [¾ – {½ – (-¼ + ⅛)}] का मान निकालिए?
A. ⅜
B. ¾
C. ½
D. ¼

हल:- प्रश्ननानुसार,
⅜ – [¾ – {½ – (-¼ + ⅛)}]
⅜ – [¾ – {½ – (-⅜)}]
⅜ – [¾ – {½ + ⅜}]
⅜ – [¾ – {7/8}]
⅜ – [¾ – 7/8]
⅜ – [-⅛]
⅜ + ⅛ = ½
Ans. ½

Q.16 यदि a + b = 13 तथा 4ab = 144 हो, तो a – b का मान होगा?
A. 6
B. 4
C. 5
D. 7

हल:- प्रश्ननानुसार,
a + b = 13
4ab = 144
a – b = ?
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
(a – b)² = (13)² – 144
(a – b)² = 169 – 144
(a – b)² = 25
(a – b) = √25
(a – b) = 5
Ans. 5

Q.17 यदि x + y = 70 तथा x – y = 10 हो, तो 1/x + 1/y का मान होगा?
A. 1/70
B. 7/70
C. 7/12
D. 7/120

हल:- प्रश्ननानुसार,
x + y = 70………(1)
x – y = 10 ………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
2x = 80
x = 40
समीकरण (1) व समीकरण (2) को घटाने पर
2y = 60
y = 30
दिया हैं :-
1/x + 1/y
1/40 + 1/30
(3 + 4)/120
Ans. 7/120

Q.18 यदि (30)² – (20)² = 10x, तो x = ?
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60

हल:- प्रश्ननानुसार,
(30)² – (20)² = 10x, तो x = ?
900 – 400 = 10x
500 = 10x
x = 500/10
x = 50
Ans. 50

Q.19 यदि x/2y = 6/7 हो, तो [ (-y + x)/(2y + x) + 4/13] का मान होगा?
A. 5/14
B. 1/2
C. 9/14
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
[(-y + x)/(2y + x) + 4/13]
x/2y = 6/7
x = 6 तथा 2y = 7 या y = 7/2
[(-y + x)/(2y + x) + 4/13].………(1)
समीकरण में x तथा y के मान रखने पर
[(-7/2 + 6)/(7 + 6) + 4/13]
[(-7 + 12)/2 / 13 + 4/13]
5/2 / 13 + 4/13
5/2 × 1/13 + 4/13
5/26 + 4/13
(5 + 8)/26
13/26
Ans. 1/2

Q.20 a/b = 4/5 हो तो (3/5 + (b – a)/(b + a) का मान होगा?
A. 32/45
B. 16/57
C. 47/98
D. 67/97

हल:- प्रश्ननानुसार,
a/b = 4/5 हो तो 3/5 + (b – a)/(b + a)
a/b = 4/5
a = 4/5b
3/5 + (b – a)/(b + a)
3/5 + (b – 4/5b)/(b + 4/5a)
3/5 + (5b – 4b)/5 / (5b + 4b)/5
3/5 + (b/5 / 9b/5)
3/5 + b/5 × 5/9b
3/5 + 1/9
(27 + 5)/45
Ans. 32/45

Q.21 1/9 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 = ?
A. 1/2
B. 0
C. 1/9
D. 1/25

हल:- प्रश्ननानुसार,
1/9 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 = ?
? = 1/9 + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6) + (1/6 – 1/7) + (1/7 – 1/8) + (1/8 – 1/9)
? = 1/2
Ans. 1/2

Q.22 1², 2², 3², 4², 5², 6² तथा 7² का माध्य हैं?
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40

हल:- प्रश्ननानुसार,
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7²
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140
माध्य = 140/7
माध्य = 20
Ans. 20

Q.23 225 का 1/5, 60 के 3/5 से कितना अधिक हैं?
A. 9
B. 81
C. 19
D. 129

हल:- प्रश्ननानुसार,
225 × 1/5 – 60 × 3/5
45 – (12 × 3)
45 – 36
Ans. 9

Q.24 8 + 7.9 – {2.1 – 6.3 – (2.1 + 0.9) + 15.2} = ?
A. 2.1
B. 6.3
C. 7.9
D. 8.0

हल:- प्रश्ननानुसार,
8 + 7.9 – {2.1 – 6.3 – (2.1 + 0.9) + 15.2} = ?
8 + 7.9 – {2.1 – 6.3 – 3.0 + 15.2}
15.9 – 8.0
Ans. 7.9

Q.25 1 – [5 – {2 + (-5 + 6 – 2)2}] = ?
A. -4
B. 0
C. -2
D. 2

हल:- प्रश्ननानुसार,
1 – [5 – {2 + (-5 + 6 – 2)2}] = ?
1 – [5 – {2 + (6 – 7)2}] = ?
1 – [5 – {2 + (-1 × 2)}] = ?
1 – [5 – {2 – 2}] = ?
1 – [5 – 0] = ?
1 – 5 = ?
-4 = ?
Ans. -4

Q.26 1000 का 10% + 2000 का 20% + 3000 का 30% = ?
A. 1000
B. 1100
C. 1200
D. 1400

हल:- प्रश्ननानुसार,
1000 का 10% + 2000 का 20% + 3000 का 30% = ?
1000 × 10/100 + 2000 × 20/100 + 3000 × 30/100 = ?
10 × 10 + 20 × 20 + 30 × 30 = ?
100 + 400 + 900 = ?
? = 1400
Ans. 1400

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