त्रिकोणमिति की परिभाषा, सूत्र और उदाहरण

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चलिए आज हम त्रिकोणमिति की परिभाषा, सूत्र और उदाहरण की समस्त जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

त्रिकोणमिति किसे कहते हैं

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा हैं जिसमे त्रिभुज की तीनों भुजाओं तथा तीनों कोणों का अध्ययन किया जाता हैं।

त्रिकोणमिति में एक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता हैं।

त्रिकोणमिति को अंग्रेजी में ‘Trigonometry’ बोलते हैं।

त्रिकोणमिति (Trigonometry) शब्द तीन ग्रीक शब्दों Tri + Gon + Metron से मिलकर बना हैं।

• इनमें ‘Tri’ का अर्थ ‘तीन’ हैं।
• ‘Gon’ का अर्थ ‘भुजा’ हैं।
• ‘Metron’ का अर्थ ‘माप’ होता हैं।

Trigonometry का पूर्ण अर्थ त्रिभुज की तीनों भुजाओं की माप’होता हैं।

समकोण त्रिभुज

जिस त्रिभुज में एक कोण समकोण अर्थात 90° का हो उस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहलाता हैं। एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण तथा दो न्यून कोण त्रिभुज होते हैं।

कर्ण (Hypotenuse)

समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने वाली भुजा को कर्ण कहा जाता हैं।

• कर्ण समकोण त्रिभुज की सबसे लम्बी भुजा होती हैं।
• कर्ण की लम्बाई शेष दोनों भुजाओं की लम्बाई के योग से कम होती हैं।
• कर्ण को प्राय: अंग्रेजी के अक्षर “h” से दिखलाया जाता हैं।

आधार (Base)

समकोण त्रिभुज में एक न्यूनकोण की संलग्न भुजा को आधार कहा जाता हैं।

आधार शब्द के अर्थ से ही स्पष्ट है एक समकोण त्रिभुज में कर्ण को छोड़कर नीचे वाली भुजा आधार का कार्य करती है आधार कहलाती है।

आधार को प्राय: अंग्रेजी के अक्षर b से निरूपित किया जाता हैं।

लम्ब (Perpendicular)

समकोण त्रिभुज में किसी न्यूनकोण के सम्मुख की भुजा को लम्ब कहा जाता है।

लम्ब को ऊँचाई भी कहा जाता है। लम्ब को प्राय: अंग्रेजी के अक्षर “p” से निरूपित किया जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच सम्बन्ध को दर्शाता है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार समकोण त्रिभुज में,

(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²

h² = p² + b²

जहाँ :

h = कर्ण (Hypotenuse)
p = लम्ब (Perpendicular) तथा
b = आधार (Base)

समकोण त्रिभुज का नियम

• (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²

• (लम्ब)² = (कर्ण)² – (आधार)²

• (आधार)² = (कर्ण)² – (लम्ब)²

त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमितीय अनुपात 6 प्रकार के होते हैं जिन्हें निम्न प्रकार से परिभाषित किया जा सकता हैं।

• sinA = लम्ब/कर्ण
• cosA = आधार/कर्ण
• tanA = लम्ब/आधार
• cosecA = कर्ण/लम्ब
• secA = कर्ण/आधार
• cotA = आधार/लम्ब

त्रिकोणमिति सम्बन्ध

• sinθ.cosecθ = 1
• cosθ.secθ = 1
• tanθ.cotθ = 1
• tanθ = sinθ/cosθ

कोण के रूप में प्रयोग की जाने वाले ग्रीक शब्द

α	अल्फ़ा
β	बीटा
γ	गामा
δ	डेल्टा
λ	लैम्डा
Ψ	साई
Θ	थीटा
ρ	रो
Φ	फाई

त्रिकोणमिति के सूत्र

• sin(A + B) = sinA.cosB + cosA.sinB
• sin(A – B) = sinA.cosB – cosA.sinB
• cos(A + B) = cosA.cosB – sinA.sinB
• cos(A – B) = cosA.cosB + sinA.sinB
• tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 – tanA.tanB)
• tan(A – B) = (tanA – tanB)/(1 + tanA.tanB)
• cot(A + B) = cotA.cotB – 1/cot B.cot A
• cot(A – B) = cotA.cotB + 1/cot B – cot A
• sin (A + B). sin (A – B) = sin² A – sin² B = cos² B – cos² A
• cos (A + B). cos (A – B) = cos² A – sin² B = cos² B – sin² A
• sin 2A = 2 sin A.cos A = 2 tan A/ 1 + tan² A
• sin2A = 2sinA.cosA
• cos2A = cos²A – sin²A = 1 – 2sin²A
• 2cos²A – 1 = 1 – 2sin²A/1 + tan²A
• tan2A = 2tanA/(1 – tan²A)
• 2 sin²A = 1 – cos 2A
• 2 cos²A = 1 + cos 2A
• sin 3A = 3 sin A – 4 sin³A
• cos 3A = 4 cos³ – 3 cos A
• tan 3A = 3 tan A – tan³ A/1 – 3tan² A
• sin (A + B) – sin (A + B) = 2 cos A.Cos B
• cos (A – B) – cos (A – B) = 2 sin A. sin B
• sin C + sin D = 2 sin C + D/2 . cos C – D/2
• sin C – sin D = 2 cos C + D/2 . sin C – D/2
• cos C + cos D = 2 cos C + D/2 . cos C – D/2
• cos C – cos D = 2 sin C + D/2 . cos D – C/2

sin (sin⁻¹) = x, 1 ≤ x ≥ 1

• sin⁻¹ (sinx) = x, – π/2 ≤ x ≥ π/2
• sin(sin⁻¹x) = x, – 1 ≤ x ≤ 1
• tan (tan⁻¹ x) = x, -∞ < x < ∞
• tan⁻¹ (tan⁻¹ x) = x, -π/2 ≤ x ≤ π/2

sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 – 1 ≤ x ≤ 1

• tan⁻¹ + cot⁻¹ x = π/2 -∞ < x < ∞
• sec⁻¹ x + coses⁻¹ x = π/2, x ≤ -1 or x ≥ 1

sin⁻¹ (-x) = -sin⁻¹ x

• cos⁻¹ (-x) = π – cos⁻¹ x
• tan⁻¹ (-x) = – tan⁻¹ x

त्रिकोणमिति सारणी

θ	0	30°= Π/6	45°= Π/4	60°= Π/3	90°= Π/2	180°= Π	270°= 3Π/2	360°= 2Π
sinθ	0	1/2	1/√2	√3/2	1	0	-1	0
cosθ	1	√3/2	1/√2	1/2	0	-1	0	1
tanθ	0	1/√3	1	√3	∞	0	∞	0
cosecθ	∞	2	√2	2/√3	1	∞	-1	∞
secθ	1	2/√3	√2	2	∞	-1	∞	1
cotθ	∞	√3	1	1/√3	0	∞	0	∞

त्रिकोणमितीय की सर्वसमिकाएँ

• sin² A + cos² A = 1
• 1 + tan² A = sec² A
• 1 + cot² A = cosec² A

नीचे हम इन सर्वसमिकाओ को हल करेंगे।

1. sin² A + cos² A = 1

माना कि,
ABC एक समकोण त्रिभुज हैं, जिसमें त्रिभुज CAB = A,
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब²) + (आधार²) = (कर्ण²)
(BC)² + (AB)² = (AC)² ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में (AC)² से भाग देने पर,
(BC)² / (AC)² + (AB)² / (AC)² = (AC)² / (AC)²
(BC/AC)² + (AB/AC)² = (AC/AC)²
(Sin A = BC/AC), (Cos A = AB/AC)
sin²A + cos²A = 1 Prooved.

2. 1 + tan² A = sec² A

माना कि,
ABC एक समकोण त्रिभुज हैं, जिसमें त्रिभुज CAB = A,
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब²) + (आधार²) = (कर्ण²)
(BC)² + (AB)² = (AC)² ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में (AB)² से भाग देने पर,
(BC)² / (AB)² + (AB)² / (AB)² = (AC)² / (AB)²
(BC/AB)² + (AB/AB)² = (AC/AB)²
1 + (tan²)A = (sec²)A Prooved.

3. 1 + (cot²) = (cosec²)A

माना कि,
कि ABC एक समकोण त्रिभुज हैं, जिसमें त्रिभुज CAB = A
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब²) + (आधार²) = (कर्ण²)
(BC)² + (AB)² = (AC)² ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में (BC)² से भाग देने पर,
(BC)² / (BC)² + (AB)² / (BC)² = (AC)² / (BC)²
(BC/BC)² + (AB/BC)² = (AC/BC)²
cot² A + 1 = cosec² A
1 + (cot²) = (cosec²) A Prooved.

पूरक कोणों में त्रिकोणमितीय अनुपात

sin (90° – θ)	cos θ
cos (90° – θ)	sin θ
tan (90° – θ)	cot θ
cosec (90° – θ)	sec θ
sec (90° – θ)	cosec θ
cot (90° – θ)	tan θ
sin (90° + θ)	cos θ
cos (90° + θ)	– sin θ
tan (90° + θ)	– cot θ
cosec (90° + θ)	sec θ
sec (90° + θ)	– cosec θ
cot (90° + θ)	– tan θ
sin (180° – θ)	sin θ
cos (180° – θ)	– cos θ
tan (180° – θ)	– tan θ
cosec (180° – θ)	cosec θ
sec (180° – θ)	– sec θ
cot (180° – θ)	– cot θ
sin (180° + θ)	– sin θ
cos (180° + θ)	– cos θ
tan (180° + θ)	tan θ
cosec (180° + θ)	– cosec θ
sec (180° + θ)	– sec θ
cot (180° + θ)	cot θ
sin (360° – θ)	– sin θ
cos (360° – θ)	cos θ
tan (360° – θ)	– tan θ
cosec (360° – θ)	– cosec θ
sec (360° – θ)	sec θ
cot (360° – θ)	– cot θ
sin (360° + θ)	sin θ
cos (360° + θ)	cos θ
tan (360° + θ)	tan θ
cosec (360° + θ)	cosec θ
sec (360° + θ)	sec θ
cot (360° + θ)	cot θ

त्रिकोणमिति के सवाल

Q.1 निम्लिखित में कौन सा sin⁴θ – cos⁴θ के बराबर हैं?
A. (sin²θ + cos²θ)²
B. (sin²θ – cos²θ)²
C. (sinθ + cosθ)⁴
D. (sin²θ – cos²θ)

हल:- प्रश्नानुसार,
sin⁴θ – cos⁴θ = (sin²θ)² – (cos²θ)²
= (sin²θ + cos²θ)(sin² – cos²θ)
= (sin²θ – cos²θ)²
[∵ sin²θ + cos²θ = 1]
Ans. (sin²θ – cos²θ)²

Q.2 sin (A + B) का सही मान क्या होगा?
A. sin A cos B + cos B.sinB
B. sin A cos B – cos B.sinB
C. cos B.sinB + sin A cos B
D. cos B.sinB – sin A cos B

हल:- प्रश्नानुसार,
sin (A + B) = cos [90° – (A + B)
= cos [90° – (A – B)]
[cos (A – B) = cos A.cos B + sin A.sin B]
= cos (90° – A).cos B + sin (90° – A).sin B
= sin A.cos B + sin (90° – A).sin B
= sin A cos B + cos B.sinB
Ans. sin A cos B + cos B.sinB

Q.3 sinθ का मान क्या हैं?
A. tanθ/√1 + tan²θ
B. Cosec²θ – cot²θ
C. sec²θ – tan²θ
D. 1

हल:- प्रश्नानुसार,
sinθ = sinθ/cosθ .cosθ
tanθ .1/secθ
= tanθ/√1 + tan²θ
Ans. tanθ/√1 + tan²θ

Q.4 यदि cosθ = m/n हो, तो tanθ का मान होगा?
A. 1
B. √n² – m²/m
C. n² + m²/m
D. √m/n² – m²

हल:- प्रश्नानुसार,
cosθ = m/n = आधार/कर्ण
= लम्ब
tanθ = लम्ब/आधार
= √n² – m²/m
Ans. √n² – m²/m

Q.5 cos 1°, cos 2°, cos 3° ………………. cos 90° का गुणनफल हैं?
A. -1
B. 0
C. 1
D. ∞

हल:- प्रश्नानुसार,
cos 1° . cos 2° . cos 3° …………….. cos 89° . cos 90°
cos 1° . cos 2° . cos 3° ……………… cos 89° × 0
= 0
Ans. 0

Q.6 यदि sin A = 5/13 हो तो cosA का मान ज्ञात कीजिए?
A. 11/13
B. 12/13
C. 9/7
D. 13/17

हल: प्रश्नानुसार
sin A = 5/13
(Sin²)A + (cos²)A = 1
(cos²)A = 1 – (5/13)²
(cos²)A = 1 – (25/169)
(cos²)A = (169 – 25)/169
(cos²)A = 144/169
cosA = √144/169
cosA = 12/13
Ans. 12/13

Q.7 यदि sec A = 5/3 हो तो tanA का मान ज्ञात कीजिए?
A. 2/3
B. 3/5
C. 4/3
D. 7/5

हल:- प्रश्नानुसार,
दिया गया हैं
Sec A = 5/3
सर्वसमिका : 1 + tan² A = sec² A
1 + tan² A = (5/3)²
1 + tan² A = 25/9
tan² A = 25/9 – 1
tan² A = (25 – 9)/9
tan² A = 16/9
tan² A = √16/9
tan² A = 4/3

Ans. 4/3

Q.8 यदि sinθ = 3/5 हो तो cotθ का मान ज्ञात कीजिए?
A. 2/3
B. 3/5
C. 4/3
D. 3/7

हल:- प्रश्नानुसार,
दिया गया हैं
sin θ = 3/5
सर्वसमिका : 1 + cot²θ = cosec²θ
1 + cot² θ = 1/sin² θ
1 + cot² θ = 1/(3/5)²
1 + cot² θ = 1 / 9/25
1 + cot² θ = 1/1 × 25/9
1 + cot² θ = 25/9
cot² θ = 25/9 – 1
cot² θ = (25 – 9)/9
cot² θ = 16/9
cot² θ = 4/3
Ans. 4/3

Q.9 120° को रेडियन में व्यक्त कीजिए?
A. 4π/3 रेडियन
B. 2π/3 रेडियन
C. 5π/2 रेडियन
D. π/3 रेडियन

हल: प्रश्नानुसार
180° = π रेडियन
1° = π/180° रेडियन
120° = (π × 120°)/180°
= 2π/3 रेडियन
Ans. 2π/3 रेडियन

Q.10 3π/2 रेडियन को अंश में व्यक्त कीजिए?
A. 250°
B. 270°
C. 230°
D. 370°

हल: प्रश्नानुसार
π रेडियन = 180″°
1 रेडियन = 180°/π
3π/2 रेडियन = (180°π × 3π)/(π × 2)
= 90° × 3
= 270°
Ans. 270°

Q.11 सिद्ध कीजिए कि 2 sin² A + cos⁴ A = 1 + sin⁴ A
A. 1 + cos² A
B. 2 + cos⁴ A
C. 1 + sin² A
D. 1 + sin⁴ A

हल:- प्रश्नानुसार,
बायाँ पक्ष = 2 sin² A + cos⁴ A
= 2 sin² A + (1 – sin² A)²
= 2 sin² A + 1 + sin⁴ A – 2 sin² A
1 + sin⁴ A (दायाँ पक्ष)
Ans. 1 + sin⁴ A

Q.12 यदि cosθ = 1/3 हो, तो sinθ + tanθ का मान होगा?
A. 8√2/3
B. 4√5/3
C. 3√2/7
D. 11√3/9

हल:- प्रश्नानुसार,
cosθ = आधार/कर्ण
cosθ = 1/3
लम्ब = √(कर्ण)² – (आधार)²
लम्ब = √(3)² – (1)²
लम्ब = √(9 – 1)
लम्ब = √8
लम्ब = 2√2
sinθ + tanθ = लम्ब/कर्ण + लम्ब/आधार
sinθ + cosθ = 2√2/3 + 2√2/1
sinθ + cosθ = (2√2/3 + 6√2)/3
sinθ + cosθ = 8√2/3
Ans. 8√2/3

Q.13 यदि cosθ = m/n हो, तो tanθ का मान होगा?
A. √(n³ – m³)/m
B. √(m² – n²)/n
C. √(n³ – m³)/N
D. √(n² – m²)/m

हल:- प्रश्नानुसार,
cosθ = आधार/कर्ण
cosθ = m/n
लम्ब = √(n² – m²)
tanθ = लम्ब/आधार
tanθ = √(n² – m²)/m
Ans. √(n² – m²)/m

Q.14 tan 15°. tan 25°. tan 45°. tan 65°. tan 75° का मान हैं?
A. √3
B. √2
C. 1
D. 0

हल:- प्रश्नानुसार,
tan 15°. tan 25°. tan 45°. tan 65°. tan 75°
tan (90° – 75°) . tan (90° – 65°) . tan 45 . tan 65° . tan 75°
cot 75° . cot 65° . tan 45° . tan 65° . tan 75°
tan 45° = 1
Ans. 1

Q.15 यदि a = sin (π/4), b = cos (π/4) तथा c = – cosec (π/4) हो, तो a³ + b³ + c³ का मान हैं?
A. -4/3√2
B. √5/7
C. 3/√2
D. -3/2√2

हल:- प्रश्नानुसार,
a + b + c = sin (π/4) + cos (π/4) – cosec (π/4)
a + b + c = 1/√2 + 1/√2 – √2 = 0
यदि a+ b + c = 0 हो, तो
a³ + b³ + c³ = 3abc
a³ + b³ + c³ = 3 sin (π/4) × cos (π/4) × {-cosec (π/4)}
a³ + b³ + c³ = 3 × 1/√2 × 1/√2 × (-√2)
a³ + b³ + c³ = 3 × 1/2 × (-√2)
a³ + b³ + c³ = – 3/2 √2
Ans. -3/2√2

Q.16 यदि tan (A + B) = 1/2 एवं tan (A – B) = 1/3, तो tan2A का मूल्य हैं?
A. 1
B. 2
C. √2
D. 4

हल:- प्रश्नानुसार,
दिया गया हैं
tan (A + B) = ½
A + B = tan^-1 (½) ………(1)
तथा tan (A – B) = 1/3
A – B = tan^-1 (1/3)………..(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
tan 2 A = 1
Ans. 1

Q.17. Sin60° tan30° cos45° का मान ज्ञात कीजिए?
A. ¼
B. ½√2
C. √2/3
D. 2/√3

हल:- प्रश्नानुसार,
Sin60° का मान = √3/2
tan30° का मान = 1/√3
cos45° का मान = 1/√2
= Sin60° tan30° cos45°
= √3/2 × 1/√3 × 1/√2
= ½√2
Ans. ½√2

Q.18 (cosθ + sinθ)² + (cosθ – sinθ)² बराबर हैं?
A. 1
B. 2
C. 4
D. √3

हल:- प्रश्नानुसार,
(cosθ + sinθ)² + (cosθ – sinθ)²
cos²θ + sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ + sin²θ – 2cosθsinθ
1 + 1 = 2
Ans. 2

Q.19 sin (π/18) × (5π/18) × (7π/18) = ?
A. 1/2
B. 1/4
C. 3/2
D. 1/8

हल:- प्रश्नानुसार,
sin (π/18) × (5π/18) × (7π/18)
cos (π/2 – π/18) × cos (π/2 – 5π/18) × cos (π/2 – 7π/18)
cos4π/9 cos2π/9 cosπ/9 = sin [2³ . π/9]/2³ . sin π/9
(½)³ . sin8π/9/sinπ/9
1/8 . sin8π/9/sinπ/9
1/8 sin (π – π/9)/sin π/9
1/8 . (sin π/9/sin π/9)
1/8 × 1
1/8
Ans. 1/8

Q.20 यदि tan² 45° – cos² 60° = x sin² 45° tan 60° हो तो x का मान बताए?
A. √3/4
B. ¼
C. √3/2
D. 4/√3

हल:- प्रश्नानुसार,
tan² 45° – cos² 60° = x sin² 45° tan 60°
(1)² – (½)² = x (1/√2)² (√3)
1 – (1/4) = x (½)√3
(4 – 1)/4 = √3/2 x
3/4 × 2/√3 = x
x = 3/2√3
x = 3√3/2×3
x = √3/2
Ans. √3/2

Q.21 sin 75° का मान हैं?
A. (√3 + 1)/2√2
B. (√3 + 3)/4√3
C. (√2 + 1)/2√5
D. (√3 + 2)/3√2

हल:- प्रश्नानुसार,
sin 75° = sin (45° + 30°)
sin (A + B) =sin A cos B + cos A sin B
sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
½ × √3/2 + 1/√2 × ½
√3/2√2 + ½√2
(√3 + 1)/2√2
Ans. (√3 + 1)/2√2

Q.22 सिद्ध कीजिए कि sinA/(1 + cos A) + (1 + cosA)/sinA = 2 cosecA

हल:- प्रश्नानुसार
बायाँ पक्ष = sinA/(1 + cos A) + (1 + cosA)/sinA
= sin² A + (1 + cos² A)² / sin A (1 + cos A)
= (sin² A + 1 + 2cos A + cos² A) / sin A (1 + cos A)
= (1 + 1 + 2 cosA) / sinA(1 + cosA)
= (2 + 2 cosA)/sinA(1 + cosA)
= 2(1 + cosA)/sinA(1 + cosA)
= 2/sinA
2cosecA (दायाँ पक्ष)
Ans. 2cosecA

Q.23 सिद्ध कीजिए कि √(1 – sin A)/(1 + sin A) = sec A – tan A

हल: प्रश्नानुसार
करणी चिन्ह के अंदर के अंश और हर में 1 – sin A का गुणा करने पर
बायाँ पक्ष = √(1 – sin A)/(1 + sin A)
= √(1 – sin A) × (1 – sin A)/(1 + sin A) × (1 – sin A)
= √(1 – sin A)² / (1 – sin² A)
= 1 – sin A / √cos² A
= (1 – sin A)/cos A
= 1/coa A – sin A/cos A
sec A – tan A (दायाँ पक्ष)
Ans. sec A – tan A

Q.24 (tan A + sec A – 1)/(tan A – sec A + 1) = (1 + sin A)/cos A = sec A + tan A

हल: प्रश्नानुसार
बायाँ पक्ष = (tan A + sec A – 1)/(tan A – sec A + 1)
= (tan A + sec A – 1) × (sec A + tan A) / (tan A – sec A + 1) × (sec A + tan A)
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / (tan A – sec A) × (sec A + tan A) × (sec A + tan A)
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / (tan² A – sec² A) + sec A + tan A
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / -1 + sec A + tan A [ sec² A = 1 + tan² A]
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / (tan A + sec A – 1)
= sec A + tan A
= 1/cos A + sin A/cos A
(1 + sin A)/cos A (दायाँ पक्ष)
Ans. (1 + sin A)/cos A

Q.25 सिद्ध कीजिए कि (sin A + cos A)(tan A + cot A) = sec A + cosec A

हल: प्रश्नानुसार
बायाँ पक्ष = (sinA + cosA)(tanA + cotA)
= (sinA + cosA) (sinA/cosA + cosA/sinA)
= (sinA + cosA)(sin² A + cos² A)/cos A sin A
= sin A/(sin A cos A) + cos A/(sin A cos A)
= 1/cos A + 1/sin A
sec A + cosec A
Ans. sec A + cosec A

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