इस आर्टिकल में आप प्राकृतिक संख्या की परिभाषा, सूत्र, योगफल एव महत्वपूर्ण प्रश्नों को हल सहित पड़ेगें।
पिछले पेज पर हमने गणित के महत्वपूर्ण अध्याय वर्गमूल की पोस्ट शेयर की हैं तो वर्गमूल को जरूर पढ़िए।
चलिए इस पेज पर प्राकृतिक संख्या की परिभाषा, सूत्र, ट्रिक्स, और उदाहरण को पढ़ते और समझते हैं।
प्राकृतिक संख्या किसे कहते हैं
गिनती में उपयोग की जाने वाली सभी संख्याएं प्राकृतिक संख्या कहलाती हैं।
Ex : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9………
प्राकृतिक संख्या को N से प्रदर्शित करते हैं।
प्राकृतिक संख्या को अंग्रेजी में “Natural Number” कहते हैं।
जिन संख्याओं को किसी वस्तु के गिनने के काम में लिया जाता हैं उन्हें प्राकृतिक संख्याएँ कहते है।
जैसे :-
- बस्ते में 5 किताबें रखी हैं।
- टेबल पर 4 पेन रखे हैं।
- गणित की कक्षा में 30 छात्र पढ़ते हैं।
प्राकृतिक संख्या का उपयोग क्रम में रखने के लिए भी किया जाता हैं।
जैसे:-
- राम ने कक्षा 10वीं में पहला स्थान पाया।
- सीता ने Law में 4वां स्थान प्राप्त किया।
- श्यामू कक्षा में छटवें स्थान पर बैठता हैं।
प्राकृतिक संख्याओं के सूत्र
- प्रथम n प्राकृतिक विषम संख्याओं का औसत = n
- प्रथम n प्राकृतिक सम संख्याओं का औसत = n + 1
- प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या / 2) × n
- प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत = ( n + 1 ) / 2
- लगातार n तक विषम प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1) / 2
- लगातार n तक विषम प्राकृत संख्या का योग = (n/2 + 1)
- N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या / वर्ग अंतराल) +1
- प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = n( n + 1 )( 2n + 1 ) / 6
- प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = [ n (n + 1) / 2 ]²
महत्वपूर्ण बिंदु :
- सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 होती हैं।
- सबसे बड़ी प्राकृत संख्या अनन्त हैं।
- समुच्च में 0 को प्राकृतिक संख्या माना जाता है।
- प्राकृतिक संख्या संख्या पद्धति का एक भाग हैं।
- प्राकृतिक संख्या को N द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
- प्राकृतिक संख्याओं को प्राचीन इतिहास के आधार पर हिन्दी अरबी संख्या कहाँ जाता हैं।
- प्राकृत संख्या में 1 इकाई की लगातार बढ़ोतरी होती रहती है।
- प्राकृत संख्या = 0 < N ≤ 1 होता हैं।
- समुच्चय में N0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ……) द्वारा सूचित किया जाता है।
1 से 100 तक प्राकृतिक संख्याएँ
प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग
प्रथम 10 प्राकृतिक संख्या = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग = 55
अतः प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग 55 होता हैं।
प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत कितना है?
वर्ग (Square) की परिभाषा : जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा किया जाता हैं तो प्राप्त गुणनफल को संख्या का वर्ग कहते हैं।
1 से 10 तक का वर्ग
| 1 का वर्ग | 1 |
| 2 का वर्ग | 4 |
| 3 का वर्ग | 9 |
| 4 का वर्ग | 16 |
| 5 का वर्ग | 25 |
| 6 का वर्ग | 36 |
| 7 का वर्ग | 49 |
| 8 का वर्ग | 64 |
| 9 का वर्ग | 81 |
| 10 का वर्ग | 100 |
प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100
प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = 385
प्राकृतिक संख्या पर आधारित प्रश्न
Q.1 1+2+3+4 ……………… 18+19+20 = ?
A. 120
B. 210
C. 240
D. 320
हल:- प्रश्नानुसार,
1+2+3+4 ……………… 18+19+20 = ?
अंतिम संख्या = 20
प्रथम संख्या = 1
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = ( 20 – 1 ) / 1 + 1
N = 19 + 1
N = 20
योग = ( पहली संख्या + अंतिम संख्या / 2 ) × n
योग = (1 + 20 ) / 2 ×20
योग = 21 × 20 / 2
योग = 21 × 10
योग = 210
Ans. 210
Q.2 1+2+3+4 ……………… 78+79+80 = ?
A. 1,220
B. 1,880
C. 3,240
D. 4,860
हल:- प्रश्नानुसार,
1+2+3+4 ……………… 78+79+80 = ?
अंतिम संख्या = 80
प्रथम संख्या = 1
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = ( 80 – 1 ) / 1 + 1
N = 79 + 1
N = 80
योग = ( पहली संख्या + अंतिम संख्या / 2 ) × n
योग = (1 + 80 ) / 2 × 80
योग = 81 × 80 / 2
योग = 81 × 40
योग = 3,240
Ans. 3,240
Q.3 1 से 49 तक कि सभी विषम संख्याओं का योग बताइए?
A. 360
B. 625
C. 720
D. 800
हल:- प्रश्नानुसार,
1 + 3 + …………….………+ 48 + 49
पहली संख्या = 1
अंतिम संख्या = 49
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (49 – 1)/2 + 1
N = 48/2 + 1
N = 24 + 1
N = 25
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (1 + 49)/2 × 25
योग = 50/2 × 25
योग = 25 × 25
योग = 625
Ans. 625
Q.4 1 से 20 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग बताये?
A. 1,385
B. 4,350
C. 2,260
D. 2,870
हल:- प्रश्नानुसार,
n = 20
योग = n (n + 1) (2n + 1) / 6
योग = 20 (20 + 1) (2 × 20 + 1) / 6
योग = 20 × 21 (40 + 1) / 6
योग = (20 × 21 × 41) / 6
योग = 17,220 / 6
योग = 2,870
Ans. 2,870
Q.5 1 से 80 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग बताये?
A. 1,37,895
B. 1,24,350
C. 2,26,670
D. 1,73,880
हल:- प्रश्नानुसार,
n = 80
योग = n (n + 1) (2n + 1) / 6
योग = 80 (80 + 1) (2 × 80 + 1) / 6
योग = 80 × 81 (160 + 1) / 6
योग = (80 × 81 × 161) / 6
योग = 1,043,280 / 6
योग = 1,73,880
Ans. 1,73,880
Q.6 1 से 40 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या हैं?
A. 468,900
B. 672,400
C. 678,908
D. 566,902
हल:- प्रश्नानुसार,
[n (n + 1) / 2]²
n = 40
[40 (40 + 1) / 2]²
(40 × 41 / 2)²
(1,640 / 2)²
(820)²
Ans. 672,400
Q.7 किसी प्राकृत संख्या के वर्ग के तिगुने में से उस संख्या के चार गुने को घटाने पर प्राप्त संख्या उस संख्या से 50 अधिक हैं। वह संख्या हैं?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 10
हल:- प्रश्नानुसार,
माना, प्राकृतिक संख्या x हैं।
तब, x² × 3 – 4x = x + 50
3x² – 4x – x = 50
3x² – 5x = 50
3x² – 5x – 50 = 0
3x² + 10x – 15x – 50 = 0
x (3x + 10) – 5 (3x + 10) = 0
(x – 5) (3x + 10) = 0
x – 5 = 0 , 3x + 10 = 0
x = 5 या 3x = – 10
x = 5 या x = – 10/3 (प्राकृतिक संख्या नहीं हैं।
Ans. x = 5 प्राकृतिक संख्या हैं।
Q.8 किसी प्राकृत संख्या के घन में से उसका वर्ग घटाने पर परिणाम 48 प्राप्त होता हैं। संख्या होगी?
हल:- प्रश्नानुसार,
माना, प्राकृतिक संख्या x हैं।
x³ – x² = 48
x² (x – 1) = 48
x² (x – 1) = 16 × 3
4² × (4 – 1)
x = 4
Q.9 किसी प्राकृत संख्या के घन से उसका वर्ग घटाने पर 100 प्राप्त होता हैं। वह संख्या हैं?
हल:- प्रश्नानुसार,
माना, प्राकृतिक संख्या x हैं।
x³ – x² = 100
x² (x – 1) = 100
x² (x – 1) = 25 × 4
5² × (5 – 1)
x = 5
Q.10 1 से 100 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग क्या हैं?
A. 12,867,900
B. 18,234,400
C. 27,856,908
D. 25,502,500
हल:- प्रश्नानुसार,
[n (n + 1) / 2]²
n = 100
[100 (100 + 1) / 2]²
[(100 × 101) / 2]²
(10,100 / 2)²
(5,050)²
Ans. 25,502,500
FAQ
1. प्रथम बीस प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
2. क्या प्रत्येक पूर्ण संख्या प्राकृतिक संख्या होती हैं?
उत्तर:- शून्य को छोड़कर सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्या हैं। क्योंकि पूर्ण संख्या का मान शून्य से अनंत तक होता हैं। वही प्राकृतिक संख्या एक से अनंत तक होती हैं।
3. 25 और 36 के बीच कितनी प्राकृतिक संख्या है?
उत्तर:- 25 और 36 के बीच 10 प्राकृतिक संख्या है| (26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35)
4. 1 से 100 तक की प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिये?
उत्तर:- संख्याओं का औसत = कुल संख्याओं का योग / कुल संख्याएं
संख्याओं का औसत = (1+100)/2
= 101/2
= 50.5
Ans. 50.5
5. 1 से 100 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए?
उत्तर:- प्राकृतिक संख्याओं का योग = संख्याओं का औसत × संख्याएं
प्राकृतिक संख्याओं का योग = 50.5×100
= 5050
Ans. 5050
6. 1 से 100 तक सम संख्याओं का औसत?
उत्तर:- संख्याओं का औसत = कुल संख्याओं का योग × कुल संख्याएं
संख्याओं का औसत = (2+100)/2
= 102/2
= 51
Ans. 51
7. 1 से 100 तक सम प्राकृतिक संख्याओं का योग?
उत्तर:- प्राकृतिक संख्याओं का योग = औसत × कुल संख्याएं
प्राकृतिक सम संख्याओं का योग = 51 × 51
= 2550
Ans. 2550
8. 1 से 100 तक विषम संख्याओं का योग और औसत?
उत्तर:- विषम संख्याओं का औसत = कुल संख्याओं का योग / कुल संख्याएं
विषम संख्याओं का औसत = संख्याओं का योग × कुल संख्याएं
विषम संख्याओं का औसत = (1 + 99)/2
= 100/2
= 50
विषम संख्याओं का योग = 50×50
= 2500
Ans. 2500
9. सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
उत्तर:- सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है।
10. सबसे बडी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
उत्तर:- सबसे बड़ी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। क्योंकि प्राकृतिक संख्या 1 से अनंत तक होती है।
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आशा हैं आपको प्राकृतिक संख्या की जानकारी आपको पसंद आयी होगी।
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