लघुगणक की परिभाषा, प्रकार, भाग, नियम और उदाहरण

इस पेज पर आप गणित के महत्वपूर्ण अध्याय लघुगणक की सम्पूर्ण जानकारी पढ़ने वाले हैं तो पोस्ट को पूरा जरूर पढ़िए।

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चलिए इस पेज पर लघुगणक क्या हैं, इसके प्रकार, भाग, नियम और उदाहरण की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

लघुगणक क्या हैं

किसी धनात्मक संख्या का लघुगणक जिसका आधार इकाई को छोड़कर कोई दूसरी धनात्मक संख्या हो उस घात का घातांक हैं जिसे यदि आधार पर रखा जाए तो उसका मान अभीष्ट संख्या के बराबर हो जाता हैं लघुगणक कहलाता हैं।

उदाहरण :- 10 आधार पर 10000000 (एक करोड़) का लघुगणक 7 होगा क्योंकि आधार 10 पर 7 घात लगाने से उसका मान 10000000 हो जाता है।

अर्थात किसी संख्या x, आधार b और घातांक n, के लिए,

यदि a, x, N तीन ऐसी संख्याएँ हो कि a^x = N (a > 0, a ≠ 1) तो घातांक x आधार a पर N का लघुगणक कहलाता हैं।

∴ x = logₐ N

विशेष परिस्थितियाँ :-

(i). यदि आधार शून्य को जोड़कर कोई परिमिति राशि हो तो 1 का लघुगणक सदैव शून्य के बराबर होता हैं।

∵ a⁰ = 1,
∴ logₐ 1 = 0

(ii). किसी संख्या का लघुगणक जिसका आधार वही संख्या हो तो 1 के बराबर होता हैं।

∵ a¹ = a,
∴ logₐ a = 1

लघुगणक के सूत्र

1. logₐ(m × n) = logₐ m + logₐ n
2. logₐ m/n = logₐ m – logₐ n
3. logₐ mⁿ = n logₐ m
4. logₐ a = 1/logₐ b
5. logₐ a = log a/log b
6. log₍ₐⁿ₎ N = ¹⁄n.logₐ N [यदि a>0]
7. loge m = 2.3026 log₁₀ m
8. log₁₀ m = 0.4343 logₑ m

सूत्र और उदाहरण

	सूत्र	उदाहरण
गुणनफल	logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y	Log₃ 243 = log₃ (9.27) = log₃ 9 + log₃ 27 = 2 + 3 = 5
भागफल	logₐ x/y = logₐ x – logₐ y	log₂ 16 = log₂ 64/4 = log₂ 4 = 6 – 2 = 4
घात	logₐ (xⁿ) = n logₐ x	log₂ 64 = log₂ (2⁶) = 6 log₂ 2 = 6
मूल	logₐ p√x = logₐ x/p	log₁₀ √1000 = ½ log₁₀ 1000 = ³⁄₂ = 1.5

लघुगणक के सूत्र निकालने का तरीका

नियम 1. किन्हीं दो संख्या x एवं y के गुणा का लघुगणक इन दो संख्याओं के लघुगणकों के योग के बराबर होता हैं।

इस नियम में ये शर्त होती हैं की इन दोनों संख्याओं का आधार एक ही होना चाहिए तभी यह प्रमेय सिद्ध होती है।

• logₐ (x × y) = logₐ x + logₐ y

नियम 2. दो संख्याओं का भाग उनके लघुगणक के अंतर का प्रतिलघुगणक के बराबर होता हैं।

इस नियम में ये शर्त होती हैं की दोनों संख्याओं का आधार समान होना चाहिए।

• log x/y = log x – log y

नियम 3. किसी एक संख्या का दूसरे आधार के लिए लघुगणक उसी संख्या के किसी भी आधार से निर्धारित किया जा सकता हैं।

• log_a x = log_b x × log_a b
• log_b x = log_a x / log_a b 

नियम 4. किसी एक निश्चित घात तक बढ़ाई गयी संख्या का लघुगणक उस संख्या के लघुगणक को घात के सूचकांक से गुणा करने पर आने वाली संख्या के बराबर होता हैं। इन दोनों संख्याओं का आधार समान होता हैं।

• log_b xⁿ = n log_b x

लघुगणक के भाग

किसी भी संख्या के लघुगणक के दो भाग होते हैं।

• पूर्णांश (Integer)
• अपूर्णांश (Mantissa)

1. पूर्णांश (Integer)

पूर्णांश लघुगणक का पूर्ण भाग होता है। यह धनात्मक अथवा ऋणात्मक हो सकता है।

• धनात्मक पूर्णांश
• ऋणात्मक पूर्णांश

(a). धनात्मक पूर्णांश (Positive Integer):- यदि किसी संख्या का मान एक से अधिक हैं, तो उसके लघुगणक का पूर्णांश धनात्मक होता है तथा इसका मान उस संख्या में दशमलव के बायीं ओर के अंकों की संख्या से एक कम होता हैं।

धनात्मक पूर्णांश के उदाहरण :-

• 4321 का पूर्णाश 3 होगा।
• 432.1 का पूर्णाश 2 होगा।
• 43.21 का पूर्णांश 1 होगा।
• 4.321 का पूर्णांश 0 होगा।

(b). ऋणात्मक पूर्णांश (Negative Integer):- यदि किसी संख्या का मान एक से कम हैं, तो उसके लघुगणक का पूर्णांश ऋणात्मक होता हैं तथा उसका मान संख्या में दशमलव के दाहिनी ओर स्थित शून्यों की संख्या से एक अधिक होता हैं।

ऋणात्मक पूर्णांश के उदाहरण :-

• 0.6212 का पूर्णांश -1 है तथा इसे 1 (बार वन) लिखा जाता हैं।
• 0.04212 का पूर्णांश +2 है तथा इसे 2 (बार टू) लिखा जाता हैं।

2. अपूर्णांश (Mantissa)

अपूर्णांश का मान हमेशा धनात्मक होता है। किसी संख्या के लघुगणक के दशमलव भाग को अपूर्णांश कहते हैं।

माना किन्हीं दो संख्याओं के लघुगणक के मान क्रमश: 2.3010 और 2.4771 हैं। लघुगणक का पूर्णांश 2 तथा अपूर्णांश 0:3010 हैं तथा ये दोनों धनात्मक हैं। दूसरे लघुगणक का पूर्णांश ऋणात्मक हैं। परन्तु उसके अपूर्णांश (0.4771) का मान धनात्मक हैं।

लघुगणक के सवाल

Q.1 निम्नलिखित में से क्या असत्य होगा?
A. log₁₀₀ 1 = 0
B. logₑ 1 = 0
C. logₐ 1 = 1
D. log¹⁰ = 1

Ans. logₐ 1 = 1 असत्य हैं।

Q.2 log x/log a = ?
A. logₑ a
B. logₐ x
C. x/a
D. x – a

Ans. log e/log a = logₐ x

Q.3 log m + log n किसके बराबर हैं?
A. logₑ (m/n)
B. logₑ (m × n)
C. logₑ (mⁿ)
D. 1

Ans. log m + log n = logₑ (m × n)

Q.4 log₂ 64 का मान किसके बराबर हैं?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

log₂ 64
log₂ (2)⁶ [∵ logₐ a = 1]
6 × 1
Ans. 6

Q.5 log₁₂ 144 + log₁₃ 169 = ?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8

log₁₂ 144 + log₁₃ 169 = ?
log₁₂ (12)² + log₁₃ (13)² = ?
2 + 2
4
Ans. 4

Q.6 log₁₀ 100 + log₁₀ 1000 का उत्पाद हैं?
A. 5
B. 10
C. 4
D. 5

log₁₀ 100 + log₁₀ 1000
log₁₀ (10)² + log₁₀ (10)³
2 + 3
5
Ans. 5

Q.7 log₁₀ 125 + log₁₀ 8 = x, यदि तो x = ?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7

log₁₀ 125 + log₁₀ 8 = x,
x = log₁₀ 125 + log₁₀ 8
x = log₁₀ (125 × 8)
x = log₁₀ 1000
x = log₁₀ 10²
x = 2
Ans. 2

Q.8 2log (¹¹⁄₁₃) + 2log (¹³⁰⁄₃₃) − log(⁴⁄₉) का मान हैं?
A. 2.4431
B. 2 log 2
C. log ²⁶⁄₁₁
D. 2 log 5

2log (¹¹⁄₁₃) + 2log (¹³⁰⁄₃₃) − log(⁴⁄₉)
log [(11×11)/(13×13) × (130×130)/(33×33) × (9/4)]
log 25
log 5²
Ans. 2 log 5

Q.9 ½log₁₀ 25 − 2log₁₀ 3 + log₁₀ 18 का सरलतम मान हैं?
A. 18
B. 4
C. log 10³
D. 1

½log₁₀ 25 − 2log₁₀ 3 + log₁₀ 18
log₁₀ 25½ − log₁₀ 3² + log₁₀¹⁸
log₁₀⁵ − log₁₀⁹ + log₁₀¹⁸
log₁₀ (5⁄₉ × 18)
log₁₀¹⁰ = 1
Ans. 1

Q.10 [log₁₀ 50 + log₁₀ 40 + log₁₀ 20 + log₁₀ (2.5)] = ?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 10

[log₁₀ 50 + log₁₀ 40 + log₁₀ 20 + log₁₀ (2.5)] = ?
log₁₀ (50 × 40 × 20 × 2.5)
log₁₀ 100000
log₁₀ 10²
5 × 1
Ans. 5

Q.11 log⁷⁵⁄₁₆ − 2log⁵⁄₉ + log³²⁄₂₄₃ का मान होगा?
A. 0
B. 1
C. -1
D. log 2

log75⁄₁₆ − 2log⁵⁄₉ + log³²⁄₂₄₃
log75⁄₁₆ − log(⁵⁄₉)² + log³²⁄₂₄₃
log (75 × 81 × 32)/(16 × 25 × 243)
log 2
Ans. log 2

Q.12 यदि log (2 + 3 + x) = log 2 + log 3 + log x हो, तो x होगा?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 5

हल:- प्रश्नानुसार,
log (2 + 3 + x) = log 2 + log 3 + log x
log (5 + x) = log (2 × 3 × x)
5x = 5
x = 1
Ans. 1

Q.13 यदि 3 log 2 + 2 log 3 + log 5 = log k हो, तो k का मान होगा?
A. 360
B. 420
C. 480
D. 524

हल:- प्रश्नानुसार,
3log 2 + 2 log 3 + log 5 = log k
log 2³ × 3² × 5 = log k
k = 3 × 2 × 5
k = 360

Q.14 यदि log₁₀ (x² – 6x + 45) = 2 हो, तो x का मान हैं?
A. 10, 5
B. 11, -5
C. 6, 9
D. 9, -5

हल:- प्रश्नानुसार,
log₁₀ (x² – 6x + 45) = 2
(x² – 6x + 45) = 10²
(x²- 6x + 45) = 100
x² – 6x + 45 – 100 = 0
x² – 6x – 55 = 0
x² – 11x + 5x – 55 = 0
x(x – 11) + 5(x – 11) =0
(x – 11)(x + 5) =0
x – 11 = 0, x = 11
x + 5 = 0, x = -5

Q.15 यदि log x – 5 log 3 = -2 हो तो x का मान होगा?
A. 0.81
B. 1.25
C. 2.43
D. 3.20

हल:- प्रश्नानुसार,
Log 3⁵ – log 10²
log 243 – log 100
log ²⁴³⁄₁₀₀
x = 2.43
Ans. 2.43

Q.16 log₁₂₉₆ 6 का मान होगा?
A. 5 और 6 के बीच
B. 4
C. 0.25
D. 216

हल:- प्रश्नानुसार,
log₁₂₉₆ 6
log₁₀ 6/log₁₀ 1296
log₁₀ 6/log₁₀ 6⁴
log₁₀ 6/4log₁₀ 6
¼
Ans. 0.25

Q.17 logₐ √3 = ¹⁄₆, तो a का मान होगा?
A. 27
B. √81
C. √27
D. 9

हल:- प्रश्नानुसार,
logₐ √3 = ¹⁄₆
a⅙ = √3
a = (√3)⁶
a = 3³
a = 27
Ans. 27

Q.18 log₄ 8 × 1/log₄ 8 का मान होगा?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 4

हल:- प्रश्नानुसार,
log₄ 8 × 1/log₄ 8
Ans. 1

Q.19 यदि log₁₀ 2 = a और log₁₀ 3 = b तो log 5¹² बराबर होगा?
A. (a + b)/(1 + a)
B. 2a + b/(1 – a)
C. 2a – b/(1 + a)
D. (a – b)/(1 – a)

हल:- प्रश्नानुसार,
log₅ 12 = log 12/log 5
log 12 /log 10⁄₂
log 12/log 10 – log 2
log (2 × 2 × 3)/1 – log2
2log 2 + log 3/1 – log 2
Ans. 2a + b/(1 – a)

Q.20 log₅ [(125)(625)/25]
A. 25
B. 5
C. 625
D. 5 log₅

हल:- प्रश्नानुसार,
log₅ (125 × 25)
log (5)⁵
5 log₅
Ans. 5

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