बीजगणित की परिभाषा, बीजगणित के फार्मूला, ट्रिक्स, नियम और उदाहरण

नमस्कार दोस्तों आज के इस आर्टिकल में हम बीजगणित की जानकारी पढ़ने वाले हैं तो इस आर्टिकल को पूरा जरूर पढ़िए।

पिछले पेज पर हम गोला और वृत्त की जानकारी शेयर की थी तो उस आर्टिकल को भी पढ़े।

चलिए आज के इस पेज पर हम बीजगणित की परिभाषा, बीजगणित के फार्मूला, ट्रिक्स, नियम और उदाहरण की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।

बीजगणित की परिभाषा

बीजगणित गणित का वह भाग है जो समस्याओं या स्थितियों को गणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने में मदद करता है।

बीजगणित में, हम 2, −7, 0.068 आदि जैसी संख्याओं का उपयोग करते हैं, जिनका एक निश्चित या निश्चित मान होता है। बीजगणित में हम संख्याओं के साथ-साथ x, y और z जैसे चरों का उपयोग करते हैं।

बीजगणित के फार्मूला

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a + b)² = (a – b)² + 4ab
3. (a – b)² = a² – 2ab + b²
4. (a – b)² = (a + b)² – 4ab
5. (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
6. (a + b)² – (a-b)² = 4ab(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
7. (a + b)² – (a – b)² = a³ + b³ + 3ab(a + b)
8. (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
9. (a – b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
10. (a + b)³ + (a – b)³ = 2(a³ + 3ab²)
11. (a + b)³ + (a – b)³ = 2a(a² + 3b²)
12. (a + b)³ – (a – b)³ = 3a²b + 2b³
13. (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)
14. a² – b² = (a – b)(a + b)
15. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
16. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
17. a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
18. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
19. (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)
20. a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³ – 3(a + b)(b + c)(c + a)
21. (a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
22. a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
23. x² + y² + z² – xy – yz – zx = ½[(x – y)² + (y – z)² + (z + x)²]
24. a³ + b³ + c³ – 3abc = ½(a + b + c) [(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²]
25. a² + b² + c² – ab – bc – ca = ½[(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²]
26. a(b – c) + b(c – a) + c(a – b) = 0
27. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = -(a – b)(b – c)(c – a)
28. a²(b² – c²)- b²(c² – a²) + c²(a² – b²) = (a – b)(b – c)(c – a)
29. a + b = (a³ + b³)/(a² + ab + b²)
30. a – b = (a³ – b³)/(a² + ab + b²)
31. a + b + c = (a³ + b³ + c³ – 3abc)/(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
32. (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2
33. (a² + 1/a²) = (a + 1/a)² – 2
34. (a – 1/a)² = a² + 1/a² – 2
35. (a² + 1/a²) = (a – 1/a)² + 2
36. (a³ + 1/a³) = (a + 1/a)³ – 3(a + 1/a)
37. (a³ – 1/a³) = (a – 1/a)³ – 3(a – 1/a)

बीजगणित के नियम

बीजगणित गणित की एक शाखा है जो अंकगणित और बीजगणितीय संक्रियाओं को नियंत्रित करने वाले नियमों से संबंधित है।

बीजगणित को समझना कठिन है, लेकिन यह इंजीनियरिंग, भौतिकी और गणित सहित कई क्षेत्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

नीचे कुछ बीजगणित के नियम दिए गए हैं जो आपको पता होना जरुरी हैं।

(a). वितरणात्मक का नियम :- Z में सभी a, b, c के लिए (a + b) = ab + b(a + c) है। इस कानून का उपयोग अक्सर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

(b). क्रमविनिमेय का नियम :- Z में सभी x, y के लिए (x + y) = x × y है।

(c). साहचर्य का नियम :- Z में सभी a, b, c के लिए (a + b) + c = (a + b) × c।

1. जोड़ का क्रमविनिमेय नियम

जोड़ के क्रमविनिमेय नियम में कहा गया है कि अंकगणित में संक्रियाओं का क्रम बाएँ से दाएँ होता है, जिसका अर्थ है कि जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ बाएँ से दाएँ की जाती हैं। इस नियम को अक्सर “बाएँ से दाएँ क्रम” के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 3 + 2 = 5 में, पहले जोड़ (3 + 2) किया जाएगा, उसके बाद गुणा (5 × 2) और अंत में भाग (3/5) किया जाएगा।

2. गुणन का क्रमविनिमेय नियम

गुणन का क्रमविनिमेय नियम बताता है कि जब दो गुणकों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक ही होता है। यह नियम समीकरणों को हल करने और बीजगणित कैसे काम करता है यह समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

गुणन के क्रमविनिमेय नियम को स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें। मान लीजिए कि आपके पास केला का एक गुच्छा है और आप उन्हें दो ढेरों में बाँटना चाहते हैं।

आप प्रत्येक ढेर से एक केला लेकर और उन्हें आधा-आधा बांटकर ऐसा कर सकते हैं। लेकिन क्या होगा यदि आप उन्हें चार ढेरों में बाँटना चाहें?

आप अभी भी ऐसा कर सकते हैं कि प्रत्येक ढेर से एक केला लें और इसे आधे में विभाजित करें, लेकिन अब तीन केला बचे रहेंगे। यदि आप उन्हें आठ ढेरों में बाँटना चाहते हैं, तो आपको प्रत्येक ढेर से दो केला लेने होंगे और फिर भी उन्हें आधा-आधा बाँटना होगा।

ऐसा इसलिए है क्योंकि गुणन का क्रमविनिमेय नियम कहता है कि जब दो चीजों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक ही होता है, चाहे उन्हें कितनी भी बार गुणा किया जाए।

3. जोड़ का साहचर्य नियम

योग के साहचर्य नियम में कहाँ गया है कि दो संख्याओं का योग निम्नलिखित समीकरण के अनुसार किया जाता है।

(A + B) = (A) + (B)

4. गुणन का साहचर्य नियम

गुणन का साहचर्य नियम बताता है कि यदि a, b, और c कोई संख्या हैं, तो [a(b + c)] हमेशा a+(b+c) के बराबर होता है। इस नियम को निम्नलिखित तालिका से स्पष्ट किया जा सकता है।

नंबर	अंक
A	3
B	5
C	7

(3)(5) = 15
(3)(7) = 28

5. गुणन का वितरणात्मक नियम

गुणन का वितरण नियम बताता है कि जब दो संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उत्पाद बिना किसी जानकारी के नुकसान के, गुणकों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम 5 को 2 से गुणा करते हैं, तो परिणाम 10 (5 × 2 = 10) होता है। इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है।

(5 + 2) = 7
अब आइए ऋणात्मक संख्या वाला एक उदाहरण देखें। यदि हम -5 को -2 से गुणा करें, तो उत्तर -10 होगा।

∴ चूंकि (-5) × (-2) = -10

बीजगणितीय संक्रियाएँ

बीजगणितीय संक्रियाएँ बीजगणित की नींव हैं। वे संख्यात्मक चरों के बीच विभिन्न गणितीय गणनाएँ करने की अनुमति देते हैं। इसमें समीकरणों को हल करना, बहुपदों में हेरफेर करना और रैखिक रुझानों को रेखांकन करना जैसी चीज़ें शामिल हैं।

कुछ बीजगणितीय संक्रियाएँ हैं जो आमतौर पर गणित में उपयोग की जाती हैं। ये जोड़ संक्रिया (+), घटाव संक्रिया (-), गुणन संक्रिया (×), और भाग संक्रिया (÷) हैं।

कुछ कम सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले ऑपरेशन भी हैं, जैसे एक्सपोनेंशियेशन ऑपरेशन exp(-), व्युत्क्रम ऑपरेशन व्युत्क्रम(x), और पावर ऑपरेशन pow(x, y)।

सामान्य तौर पर, एक बीजगणितीय ऑपरेशन को उसके ऑपरेंड और उसके ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया जाता है। ऑपरेंड वे संख्याएं या भाव हैं जो ऑपरेटर द्वारा प्रभावित होंगे।

ज्यादातर मामलों में, प्रत्येक ऑपरेंड को स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए कोष्ठक के भीतर रखा जाना चाहिए। ऑपरेटर वह है जो ऑपरेंड पर वास्तविक गणितीय गणना करता है।

बीजीय संक्रियाओं के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं।

• + : दो संख्याओं का योग
• – : दो संख्याओं का घटाव
• × : एक संख्या का दूसरी संख्या से गुणा
• ÷ : एक संख्या का दूसरी संख्या से भाग

1. जोड़ना

बीजगणित गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। यह हमें यह समझने में मदद करता है कि संख्याएँ और प्रतीक समस्याओं का समाधान बनाने के लिए कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। इस पोस्ट में, हम कुछ बुनियादी बीजगणित नियमों और उदाहरणों का पता लगाएंगे।

बीजगणित का पहला नियम कहता है कि यदि दो चर बराबर हैं, तो उनका उत्पाद भी बराबर होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप समीकरण x = 5y + 3 में x के लिए हल करना चाहते हैं, तो आप समीकरण को सरल बनाने के लिए बीजगणित के नियम का उपयोग कर सकते हैं।

y = 2x + 3 इस नियम को कभी-कभी वितरण गुण भी कहा जाता है क्योंकि यह हमें बताता है किसी समीकरण में किसी राशि को कई पदों में कैसे वितरित करें।

बीजगणित का दूसरा नियम कहता है कि यदि दो समीकरणों की विषय-वस्तु और गुणांक समान हों, तो उनके उत्पादों का भी विषय-वस्तु और गुणांक समान होते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण x² + 2x – 4 = 0 में, दोनों समीकरणों का विषयवस्तु x है और उनका गुणांक -4 है। इसलिए, उनके उत्पादों में विषय वस्तु के रूप में x और उनके गुणांक के रूप में -4 होता है।

बीजगणित का तीसरा नियम कहता है कि जब भी कोई चर किसी समीकरण में एक से अधिक बार आता है, तो उसका मान इस पर निर्भर करता है कि वह किस समीकरण में आता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x² – 4x + 10 = 0 में, जब x दो बार (एक बार अंदर) आता है कोष्ठक और एक बार बाहर, कोष्ठक के अंदर इसका मान 10 है जबकि कोष्ठक के बाहर इसका मान 4 है।

2. घटाव

घटाव जोड़ का व्युत्क्रम है। अर्थात्, जब दो संख्याओं को घटाया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक संख्या होती है जो दोनों मूल संख्याओं से छोटी होती है।

संख्याओं को घटाने के लिए तीन महत्वपूर्ण नियम हैं संचालन का क्रम (प्रतिशत चिह्न, धन चिह्न और ऋण चिह्न) यह निर्धारित करता है कि कौन सा ऑपरेशन पहले करना है।

कोष्ठक यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी संख्या पहले कोष्ठक के अंदर जाती है। गुणा और भाग संचालन के क्रम का पालन करते हैं।

संख्याओं को घटाने के चार बुनियादी चरण इस प्रकार हैं।

चरण #1 : दो संख्याओं को दशमलव रूप में लिखें।

चरण #2 : भिन्न में प्रत्येक संख्या को कुल से विभाजित करके किसी भी भिन्न को दशमलव में बदलें।

उदाहरण :- यदि 3/5 जैसी कोई भिन्न है, तो 3 को 5 से विभाजित करें और फिर उसे एक पंक्ति में 3 ÷ 5 और दूसरी पंक्ति में 5 लिखें।

चरण #3 : दशमलव में संख्याओं को जोड़ें इस चरण में, आप सभी दशमलवों को बिना किसी सामान्य अंक के एक साथ जोड़ते हैं।

उदाहरण :- 10 + 5 = 15

चरण #4 : अपने काम की जाँच करें यदि आपको कोई ऐसा उत्तर मिलता है जो आपकी अपेक्षा से भिन्न है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को 10 से गुणा या विभाजित करके अपने काम की जाँच करें और देखें कि क्या इससे कुछ भी बदलता है।

इन चार चरणों का उपयोग करके दो पूर्ण संख्याओं को कैसे घटाया जाए इसका एक उदाहरण यहां दिया गया है। उमेश दोपहर के समय सुरेश के साथ फुटबॉल खेल रहा था। उमेश ने तीन घंटे तक फुटबॉल खेला जबकि सुरेश ने एक घंटे तक फुटबॉल खेला। अल ने कब तक किया?

3. गुणा

गुणन दो संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया है। पहली संख्या को दूसरी संख्या से गुणा किया जाता है और परिणाम पहली संख्या में जोड़ा जाता है।

उदाहरण :-

3 × 2 = 6 इस उदाहरण में, 3 को 2 से गुणा किया जाता है और परिणाम 6 होता है। फिर 9 बनाने के लिए 3 में 6 जोड़ा जाता है।

4. विभाजन

संचालन के क्रम को आम तौर पर PEMDAS के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

कोष्ठक, घातांक, गुणा और भाग (बाएं से दाएं), जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं)। संचालन के क्रम को आगे भी PEMDAS+ के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है।

कोष्ठक, घातांक, गुणा और भाग (बाएं से दाएं), जोड़ और घटाव (बाएं से बाएं)। जटिल संख्याओं के साथ काम करते समय, संक्रियाओं का क्रम बदल जाता है।

कोष्ठक, घातांक, गुणा और भाग (बाएं से दाएं), काल्पनिक अक्ष पर जोड़ और घटाव (गुणा और भाग केवल काल्पनिक तत्वों पर किया जाता है), और तिरछापन/असममिति वास्तविक/काल्पनिक अक्ष।

बीजगणितीय अभिव्यक्ति और समीकरण के बीच अंतर

बीजगणितीय अभिव्यक्ति	समीकरण
एक अभिव्यक्ति एक संख्या, एक चर, या संख्याओं और चर और संचालन प्रतीकों का एक संयोजन है।	एक समीकरण एक समान चिह्न से जुड़े दो भावों से बना होता है।
शब्द उदाहरण : 8 और 3 का योग	शब्द उदाहरण : 8 और 3 का योग 11 के बराबर है।
अभिव्यक्ति : 8 + 3	समीकरण : 8 + 3 = 11
घातांक के साथ अभिव्यक्ति : x² – 4	घातांक के साथ समीकरण : x² – 4 = 0

बीजगणित के सवाल

प्रश्न 1. 4x + 10 = 30 दिए गए समीकरण में x का मान ज्ञात कीजिए?

हल : दिया गया समीकरण : 4x + 10 = 30
परिवर्तनशील पद को बाईं ओर रखें, और अचर पद को दाईं ओर ले जाएँ।
तो, दिया गया समीकरण इस प्रकार लिखा गया है।
4x = 30 – 10 (घटाव संक्रिया निष्पादित करना)
4x = 20
x = 20/4 (डिवीजन ऑपरेशन निष्पादित करना)
x = 5
अत: x का मान 5 है।

वैकल्पिक तरीका :

दिया गया समीकरण है।

4x + 10 = 30
समीकरण के दोनों पक्षों से 10 घटाने पर, हमें प्राप्त होता है।
4x + 10 – 10 = 30 – 10
4x = 20
समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है।
4x/4 = 20/4
x = 5

प्रश्न 2. 2x² + 9x + 10 = 0 दिए गए समीकरण में x का मान ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्ननानुसार,
2x² + 9x + 10 = 0
2x² + 4x + 5x + 10 = 0
2x(x + 2) + 5(x + 2) = 0
(2x + 5) (x + 2) = 0
x + 2 = 0
x = -2

प्रश्न 3. 665 का 80% + 34 + 84 – 32 का 400% = ?

हल:- प्रश्ननानुसार,
665 का 80% + 34 + 84 – 32 का 400% = ?
665 × 80/100 + 34 + 84 – 32 × 400/100 = ?
133 × 4 + 118 – 32 × 4 = ?
532 + 118 – 128 = ?
650 – 128 = ?
? = 522
Ans. 522

प्रश्न 4. (60,000 का 2%) × ? = 12,000 का 4%

हल:- प्रश्ननानुसार,
(60000 का 2%) × ? = 120,000 का 4%
(60000 × 2/100) × ? = 120,000 × 4/100
1200 × ? = 1200 × 4
1200 × ? = 4800
? = 4800/1200
? = 4
Ans. 4

प्रश्न 5. 500 का 40% + 100 का ?% = 1000

हल:- प्रश्ननानुसार,
500 का 40% + 100 का ?% = 1000
500 × 40/100 + 100 × ?/100 = 1000
200 + ? = 1000
? = 1000 – 200
? = 800
Ans. 800

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